发表机构
Shahrood University of Technology（沙鲁德科技大学）
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本文证明在素C*-代数上，保单位且模紧算子满射的线性映射若双向保持Kasparov循环，则诱导映射必为$*$-自同构或$*$-反自同构，并去掉了实秩零假设，推广了既有结果。
AI 中文摘要
设 $E$ 为 Hilbert C*-模，$\mathcal{L}(E)$ 为 $E$ 上所有有界可共轭算子的 C*-代数。若 $T \in \mathcal{L}(E)$ 满足 $T^*T - 1$ 和 $TT^* - 1$ 均为 $E$ 上的紧算子，则称算子 $T$ 为 Kasparov 循环。若 $\mathcal{L}(E)$ 是素 C*-代数，且 $\varphi: \mathcal{L}(E) \rightarrow \mathcal{L}(E)$ 是保单位、模紧算子满射的线性映射，并在两个方向上都保持 Kasparov 循环，则诱导映射 $\psi: \mathcal{L}(E)/\mathcal{K}(E) \rightarrow \mathcal{L}(E)/\mathcal{K}(E)$ 要么是 $*$-自同构，要么是 $*$-反自同构。我们的工作将 [J. Math. Anal. Appl. 354 (2009), 625-629] 的主要结果推广到 Kasparov 循环的集合，表明在我们的结果中假设“$\mathcal{L}(E)/\mathcal{K}(E)$ 具有实秩零”是多余的。
英文摘要
Let $E$ be a Hilbert C*-module and $\mathcal{L}(E)$ the C*-algebra of all bounded adjointable operators on $E$. An operator $T \in \mathcal{L}(E)$ is a Kasparov cycle if $T^*T - 1$ and $TT^*-1$ are compact operators on $E$. If $\mathcal{L}(E)\rightarrow \mathcal{L}(E)$ is a prime C*-algebra, and $φ:\mathcal{L}(E)\rightarrow \mathcal{L}(E)$ is a linear map which is unital and surjective up to compact operators, and preserves Kasparov cycles in both directions, then the induced map $ψ:\mathcal{L}(E)/\mathcal{K}(E) \rightarrow \mathcal{L}(E)/\mathcal{K}(E)$ is either a $*$-automorphism or a $*$-anti-automorphism. Our work extends the main result of [J. Math. Anal. Appl. 354 (2009), 625-629] to the set of Kasparov cycles, showing that the assumption ``$\mathcal{L}(E)/\mathcal{K}(E)$ has real rank zero'' is redundant in our results.
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