拟阵独立集数量的一个不等式及其在图森林-树比率中的应用
An inequality for the number of independent sets of matroids with an application to the forest-tree ratio of graphs
- Centrum Wiskunde & Informatica（数学与计算机科学中心）
- Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
- Eötvös Loránd University（罗兰大学）
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AI总结：
本文证明拟阵独立集数量的一个不等式，并应用于图，得出任意简单连通图的森林-树比率不小于完全图的对应比率，等号仅当图为完全图。
AI中文摘要：
设 $M=(E,\mathcal{I})$ 为秩 $r$ 的拟阵。令 $\mathcal{I}_k$ 为大小为 $k$ 的独立集，$I_k=|\mathcal{I}_k|$，$I=|\mathcal{I}|$。我们证明：若每个集合 $F\in \mathcal{I}_{r-1}$ 至少包含在 $\delta$ 个基中，则 $$\ln \left(\frac{I}{I_r}\right)\geqslant \frac{I_{r-1}}{I_r}\cdot \delta \ln \left(1+\frac{1}{\delta}\right).$$ 特别地，有 $$\frac{I}{I_r}\geqslant 2^{I_{r-1}/I_r}.$$ 将该结果与其他若干思想结合，我们证明：若 $G$ 是 $n$ 个顶点上的简单连通图，$F(G)$ 和 $T(G)$ 分别表示其生成森林和生成树的数量，则 $$\frac{F(G)}{T(G)}\geqslant \frac{F(K_n)}{T(K_n)},$$ 其中 $K_n$ 是 $n$ 个顶点上的完全图。等号成立当且仅当 $G=K_n$。
英文摘要：
Let $M=(E,\mathcal{I})$ be a matroid of rank $r$. Let $\mathcal{I}_k$ be the independent sets of size $k$, and let $I_k=|\mathcal{I}_k|$ and $I=|\mathcal{I}|$. We show that if every set $F\in \mathcal{I}_{r-1}$ is contained in at least $δ$ bases, then $$\ln \left(\frac{I}{I_r}\right)\geqslant \frac{I_{r-1}}{I_r}\cdot δ\ln \left(1+\frac{1}δ\right).$$ In particular, we have $$\frac{I}{I_r}\geqslant 2^{I_{r-1}/I_r}.$$ By combining this result with several other ideas, we prove that if $G$ is a simple connected graph on $n$ vertices, and $F(G)$ and $T(G)$ denote its numbers of spanning forests and spanning trees, respectively, then $$\frac{F(G)}{T(G)}\geqslant \frac{F(K_n)}{T(K_n)},$$ where $K_n$ is the complete graph on $n$ vertices. Equality holds if and only if $G=K_n$.
