二次狄利克雷 $L$-函数在 $\mathbb{F}_q[t]$ 中首一不可约多项式上的极值
Extreme Values of Quadratic Dirichlet $L$-functions over Monic Irreducible Polynomials in $\mathbb{F}_q[t]$
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中文总结 AI 辅助
本文在固定有限域上，对二次狄利克雷L-函数在首一不可约多项式上的中心值及附近点建立新的Ω-结果，推广了Darbar-Maiti和Lumley的工作，得到改进的极值下界。
中文摘要 AI 辅助
本文针对二次狄利克雷 $L$-函数的中心值 $|L(1/2,\chi_P)|$ 建立了一个新的 $\Omega$-结果，其中 $P$ 遍历与固定有限域 $\mathbb{F}_q$ 上亏格为 $g$ 的超椭圆曲线相关的首一不可约多项式。我们考虑 $q$ 固定且 $g\to\infty$ 的渐近情形。更精确地，对于每个 $\epsilon \in (0,1/2)$，我们证明 \\[ \max_{P \in \mathcal{P}_{2g+1}} |L(1/2, \chi_P)| \gg \exp \left( \left( \sqrt{\frac{\sqrt{q}+1}{\sqrt{q}-1} (1/2-\epsilon)} \\, \ln q + o(1) \right) \sqrt{\frac{g \ln_2 g}{\ln g}} \right), \\] 其中 $\mathcal{P}_{2g+1}$ 是 $\mathbb{F}_q[t]$ 中所有次数为 $2g+1$ 的首一不可约多项式的集合。我们的结果推广了 Darbar 和 Maiti (2024) 的最新工作，并为该族中的极值给出了改进的下界。我们还研究了这些二次 $L$-函数在中心线附近的极值。此外，对于 $1/2<\sigma<1$ 和充分大的 $n$，我们研究了 $L(\sigma,\chi_P)$ 的极值，其中 $P\in\mathcal{P}_n$，并获得了与 Lumley (2021) 的结果相比改进的下界。
英文摘要
In this paper, we establish a new $Ω$-result for the values $|L(σ,χ_P)|$ of quadratic Dirichlet $L$-functions at and near the central point, where \[ σ=\frac12+\fracκ{\ln g}, \qquad κ\geq 0, \] and $P$ ranges over monic irreducible polynomials associated with hyperelliptic curves of genus $g$ over a fixed finite field $\mathbb{F}_q$. We consider the asymptotic setting in which $q$ is fixed and $g\to\infty$. More precisely, for every $ε\in (0,1/2)$ andevery fixed $κ\geq 0$, we prove that \[ \max_{P \in \mathcal{P}_{2g+1}} |L(σ,χ_P)| \gg \exp \left(\left(e^{-κ} \ln q \,\sqrt{\frac{\sqrt{q}+1}{\sqrt{q}-1}(1/2-ε)} +o(1)\right)\sqrt{\frac{g\ln_2 g}{\ln g}} \right), \] where $\mathcal{P}_{2g+1}$ is the set of all monic irreducible polynomials of degree $2g+1$ in $\mathbb{F}_q[t]$. In particular, when $κ=0$, this gives the corresponding result at the central point $σ=1/2$. Our result extends the recent work of Darbar and Maiti (2024) and yields an improved lower bound for the extreme values in this family. In addition, for $1/2<σ<1$ and sufficiently large $n$, we study the extreme values of $L(σ,χ_P)$, where $P\in\mathcal{P}_n$, and obtain an improved lower bound compared with the result of Lumley (2021).
发表机构
- Department of Mathematics Indian Institute of Technology Kharagpur（印度理工学院卡拉格普尔分校数学系）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
