稀疏有向 Erdös-Rényi 图的谱边缘
The spectral edge of sparse directed Erdös-Rényi graphs
- Université Paris Cité（巴黎西岱大学）
- University of Southern California（南加州大学）
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AI总结：
本文证明稀疏有向 Erdös-Rényi 图邻接矩阵的特征值模第二大者依概率收敛到 $\sqrt d$，通过 Brown 测度与预解递归方法确定谱支撑外半径。
AI中文摘要：
设 $d>1$ 固定，$A_n$ 为具有独立 $\Ber(d/n)$ 项的 $n\times n$ 矩阵。对每个 $0<r<\sqrt d$，我们证明，以高概率，$A_n$ 的特征值中正比例部分的模大于 $r$。结合已知的上界，这意味着第二大特征值的模依概率收敛到 $\sqrt d$。我们的证明使用有向 Poisson--Galton--Watson 树的邻接算子的 Brown 测度 $\mu_d$。Sah、Sahasrabudhe 和 Sawhney 的收敛定理，连同其后的 Brown 测度识别，给出了 $A_n$ 的经验谱测度依概率弱收敛到 $\mu_d$。我们利用 Poisson--Galton--Watson 树上的预解递归证明了其支撑的外半径为 $\sqrt d$。
英文摘要：
Let $d>1$ be fixed and let $A_n$ be an $n\times n$ matrix with independent $\Ber(d/n)$ entries. For every $0<r<\sqrt d$, we prove that, with high probability, a positive proportion of the eigenvalues of $A_n$ have modulus larger than $r$. Together with the known upper bound, this implies that the modulus of the second largest eigenvalue converges in probability to $\sqrt d$. Our proof works with the Brown measure $μ_d$ of the adjacency operator of the directed Poisson--Galton--Watson tree. The convergence theorem of Sah, Sahasrabudhe, and Sawhney, together with the Brown-measure identification following it, gives weak convergence of the empirical spectral measure of $A_n$ to $μ_d$ in probability. We prove that the outer radius of its support is $\sqrt d$, using a resolvent recursion on Poisson--Galton--Watson trees.
