AI 中文总结
本文证明复 Monge-Ampère 方程在特定条件下的 Pogorelov 内部估计，并由此推出整体实凸解必为二次多项式，且该结论在外部凸性条件下依然成立。
AI 中文摘要
我们证明了复 Monge-Ampère 方程 $\det(u_{i\bar{j}})=1$ 的严格多重次调和解在齐次 Dirichlet 边界条件下的 Pogorelov 内部估计，条件是存在常数 $\kappa\geq 1$ 使得 $(\kappa u_{i\bar{j}}-u_{is}u^{s\bar{t}}u_{\overline{tj}})$ 非负定。当 $\kappa=1$ 时，该估计适用于实凸解。该估计仅依赖于维数、$\kappa$ 以及解的 $C^0$ 和 $C^1$ 范数。作为应用，$\mathbb{C}^n$ 上 $\det(u_{i\bar{j}})=1$ 的每个光滑整体实凸解都是实二次多项式。若仅在 $\mathbb{C}^n$ 的某个紧子集外部假设实凸性，同样的结论也成立。
英文摘要
We prove a Pogorelov interior estimate for strictly plurisubharmonic solutions of the complex Monge-Ampère equation $\det(u_{i\bar{j}})=1$ with homogeneous Dirichlet data under the condition that, for some constant $κ\geq 1$, $(κu_{i\bar{j}}-u_{is}u^{s\bar{t}}u_{\overline{tj}})$ is non-negative definite. For $κ=1$, this gives the estimate for real convex solutions. The estimate depends only on the dimension, $κ$, and the $C^0$ and $C^1$ norms of the solution. As an application, every smooth entire convex solution of $\det(u_{i\bar{j}})=1$ on $\mathbb{C}^n$ is a real quadratic polynomial. The same conclusion holds if real convexity is assumed only outside a compact subset of $\mathbb{C}^n$.
