有界闭凸集超空间的满射 Hausdorff 等距
Surjective Hausdorff Isometries of Hyperspaces of Bounded Closed Convex Sets
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中文总结 AI 辅助
本文证明实 Banach 空间中有界闭凸集超空间的满射 Hausdorff 等距必由底层空间的满射仿射等距诱导，将 Gruber-Lettl 结果从有限维推广到任意实 Banach 空间。
中文摘要 AI 辅助
设 $X$ 和 $Y$ 为实 Banach 空间，$\cC(X)$ 和 $\cC(Y)$ 分别表示 $X$ 和 $Y$ 的所有非空有界闭凸子集族，并配备 Hausdorff 度量。我们证明每个满射等距 $F:\cC(X)\to\cC(Y)$ 都由底层空间的满射仿射等距诱导。更精确地，$F$ 将单点集映射到单点集，由 $F(\{x\})=\{T(x)\}$ 定义的映射 $T:X\to Y$ 是一个满射仿射等距，且满足 $F(A)=T[A]:=\{T(x):\\;x\in A\}$（对任意 $A\in\cC(X)$）。特别地，我们的定理将 Gruber 和 Lettl 关于有限维欧氏空间的结果推广到任意实 Banach 空间，无需对底层空间施加任何额外假设。
英文摘要
Let $X$ and $Y$ be real Banach spaces, and let $\cC(X)$ and $\cC(Y)$ denote the families of all nonempty bounded closed convex subsets of $X$ and $Y$, respectively, equipped with the Hausdorff metric. We prove that every surjective isometry $F:\cC(X)\to\cC(Y)$ is induced by a surjective affine isometry of the underlying spaces. More precisely, $F$ maps singleton sets onto singleton sets, and the map $T:X\to Y$ defined by $F(\{x\})=\{T(x)\}$ is a surjective affine isometry satisfying \[ F(A)=T[A]:=\{T(x):\;x\in A\},\qquad(A\in\cC(X)). \] In particular, our theorem extends the result of Gruber and Lettl for finite-dimensional Euclidean spaces to arbitrary real Banach spaces, without imposing any additional assumptions on the underlying spaces.
发表机构
- Xiamen University（厦门大学）
- Chongqing University of Posts and Telecommunications（重庆邮电大学）
- Fuzhou University（福州大学）
- Jiangxi Normal University（江西师范大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
