麦克斯韦关系作为哈密顿方程：一个辛与变分框架
Maxwell's relations as Hamilton's equations: a symplectic and variational framework
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中文总结 AI 辅助
本文提出一个辛几何框架，将热力学重构为哈密顿系统，通过正则映射将麦克斯韦关系与哈密顿方程对应，并利用变分原理和拉格朗日1形式证明状态函数路径无关性源于多重时间可积性。
中文摘要 AI 辅助
我们发展了一个几何框架，在该框架中经典热力学被重新表述为哈密顿动力系统。一个显式的正则映射 $(q,p,t,H)\leftrightarrow(V,-P,S,-T)$ 将麦克斯韦关系识别为热力学庞加莱-嘉当一次形式的特征方程，与哈密顿运动方程直接平行。将热力学势视为作用泛函，一个变分原理同时恢复麦克斯韦关系和热力学约束（绝热性、等温性）作为守恒的第一积分。对于理想气体中的绝热过程，这为 $V(T)$ 和 $P(T)$ 产生显式的二阶常微分方程，每个方程由依赖于温度的拉格朗日量支配。将分量拉格朗日量组装成多参数拉格朗日1形式 $\mathcal{L}$，我们证明闭包条件 $d\mathcal{L}=0$ 在解流形上成立，从而确立热力学状态函数的路径无关性是多重时间可积性的几何结果，而非独立公设。
英文摘要
We develop a geometric framework in which classical thermodynamics is reformulated as a Hamiltonian dynamical system. An explicit canonical mapping $(q,p,t,H)\leftrightarrow(V,-P,S,-T)$ identifies Maxwell's relations as the characteristic equations of the thermodynamic Poincaré--Cartan one-form, in direct parallel with Hamilton's equations of motion. Treating thermodynamic potentials as action functionals, a variational principle recovers both the Maxwell relations and the thermodynamic constraints (adiabaticity, isothermality) as conserved first integrals. For adiabatic processes in an ideal gas, this yields explicit second-order ordinary differential equations for $V(T)$ and $P(T)$, each governed by a temperature-dependent Lagrangian. Assembling the component Lagrangians into a multi-parameter Lagrangian 1-form $\mathcal{L}$, we prove that the closure condition $d\mathcal{L}=0$ holds on the solution manifold, establishing that path-independence of thermodynamic state functions is a geometric consequence of multi-time integrability rather than an independent postulate.
发表机构
- The Institute for Fundamental Study (IF), Naresuan University（基础研究院，纳瑞苏安大学）
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