Yau 一致化猜想的一个 $m$-Hessian 方法
An $m$-Hessian approach to Yau uniformization conjecture
- Nguyen Trai University（阮梯大学）
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AI总结：
本文提出 $m$-Hessian 容量方法，在正全纯双截曲率的完备非紧 Kähler 流形上构造有限 Monge-Ampère 权，通过低阶 Hessian 容量衰减导出质量可和性，为高维一致化猜想提供新途径。
AI中文摘要：
我们发展了一个 $m$-Hessian 方法，用于在完备非紧 Kähler 流形上构造有限 Monge-Ampère 权。设 $(M^n,g)$ 为复维数 $n\ge3$ 且具有正全纯双截曲率的完备非紧 Kähler 流形。主要的新成分是一个基于低阶复 Hessian 算子的定量容量机制。更精确地说，我们在二进环带上获得了合适的相对 $m$-Hessian 容量的衰减估计，并证明这些估计蕴含一致 Lipschitz 多次调和穷竭函数的最高阶 Monge-Ampère 质量的可和性。因此，我们构造了一个真函数 $u\in PSH(M)\cap C^{0,1}(M)$，使得 $\int_M(dd^c u)^n<+\infty$。关键点是从低阶 $m$-Hessian 容量衰减到有限 Monge-Ampère 质量的过渡，这并非 $m<n$ Hessian 质量估计的形式推论。然后我们解释了这一有限 Monge-Ampère 权如何适配加权全纯函数和解析 Bezout 框架以实现一致化。特别地，该构造提供了一个高维位势理论机制，补充了最近的曲面结果，并为复维数 $n\ge3$ 正曲率下的一致化开辟了途径。
英文摘要：
We develop an \(m\)-Hessian approach to the construction of finite-Monge--Ampère weights on complete noncompact Kähler manifolds. Let \((M^n,g)\) be a complete noncompact Kähler manifold of complex dimension \(n\ge3\) with positive holomorphic bisectional curvature. The main new ingredient is a quantitative capacity mechanism based on lower-order complex Hessian operators. More precisely, we obtain decay estimates for suitable relative \(m\)-Hessian capacities on dyadic annuli and show that these estimates imply the summability of the top-degree Monge--Ampère masses of a uniformly Lipschitz plurisubharmonic exhaustion. Consequently, we construct a proper function $$ u\in PSH(M)\cap C^{0,1}(M) $$ such that $$ \int_M(dd^c u)^n<+\infty. $$ The key point is the passage from lower-order \(m\)-Hessian capacity decay to finite Monge--Ampère mass, which is not a formal consequence of \(m<n\) Hessian mass estimates. We then explain how this finite-Monge--Ampère weight fits into the weighted holomorphic-function and analytic Bezout framework for uniformization. In particular, the construction provides a higher-dimensional pluripotential-theoretic mechanism that complements recent surface results and opens a route toward uniformization under positive curvature in complex dimensions \(n\ge3\).
