单位 $C^*$-代数之间保对合的范数环同构
Involution-preserving ring isomorphisms in norm between unital $C^*$-algebras
浏览论文内容
中文总结 AI 辅助
本文证明单位 $C^*$-代数间满足范数保持与对合保持的双射必为中心对称元与实 $*$-同构之积，且该分解唯一，从而范数条件与对合保持蕴含完整乘积保持。
中文摘要 AI 辅助
设 $A$ 和 $B$ 是非零单位 $C^*$-代数，其单位元分别为 $1_A$ 和 $1_B$，并设 $T\colon A\to B$ 是满足以下条件的双射：对所有 $a,b\in A$，有 \\[\\|T(a+b)\\|=\\|T(a)+T(b)\\|, \qquad \\|T(ab)\\|=\\|T(a)T(b)\\|, \qquad T(a^*)=T(a)^*。\\] 我们证明存在 $B$ 中的中心对称元 $u$ 和实 $*$-同构 $\Phi\colon A\to B$，使得 \\[ T(a)=u\Phi(a) \qquad(a\in A)。\\] 此外，$u$ 和 $\Phi$ 由 $T$ 唯一确定。反之，若 $u\in B$ 是中心对称元且 $\Phi\colon A\to B$ 是实 $*$-同构，则 $T=u\Phi$ 是满足上述三个恒等式的双射。特别地，两个范数恒等式连同对合保持，迫使归一化映射 $uT$ 保持完整乘积，而不仅仅是 Jordan 乘积。
英文摘要
Let $A$ and $B$ be nonzero unital $C^*$-algebras with units $1_A$ and $1_B$, respectively, and let $T\colon A\to B$ be a bijection satisfying \[ \|T(a+b)\|=\|T(a)+T(b)\|, \qquad \|T(ab)\|=\|T(a)T(b)\|, \qquad T(a^*)=T(a)^* \] for all $a,b\in A$. We prove that there exist a central symmetry $u$ in $B$ and a real $*$-isomorphism $Φ\colon A\to B$ such that \[ T(a)=uΦ(a) \qquad(a\in A). \] Moreover, $u$ and $Φ$ are uniquely determined by $T$. Conversely, if $u\in B$ is a central symmetry and $Φ\colon A\to B$ is a real $ * $-isomorphism, then $T=uΦ$ is a bijection satisfying the three identities above. In particular, the two norm identities, together with involution preservation, force the normalized map $uT$ to preserve the full product, not merely the Jordan product.
发表机构
- Graduate School of Science and Technology, Niigata University（新潟大学理工学研究科）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
