超越标准分次情形的理想的正规性：来自数值半群环的族
Normality of ideals beyond the standard graded setting: families from numerical semigroup rings
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中文总结 AI 辅助
本文研究超越标准分次情形的理想正规性，从嵌入维数三的数值半群构造整闭准素理想，确定重数三或四时的生成元，并证明相应 Rees 代数为 Cohen–Macaulay 正规整环。
中文摘要 AI 辅助
设 $k$ 为任意域，$S=k[x,y,z]$ 为具有三个变量 $x,y,z$ 的多项式环。我们研究 $S$ 的整闭 $(x,y,z)$-准素理想，这些理想关于某个正权重分次是齐次的，但不必关于标准分次是齐次的。从嵌入维数为三的数值半群 $H$ 出发，我们通过逆像 $I_h=\varphi_H^{-1}(t^hk[t]\cap k[H])$ 得到这样的理想。若 $\ell$ 是 $k[H]$ 的一个定义关系的最小次数，则 $I_\ell$ 是单项式理想，而在本文考虑的情形中 $I_{\ell+1}$ 具有一个二项式生成元。我们确定了嵌入维数为三且重数（multiplicity）为三或四的数值半群的 $I_{\ell+1}$。在重数为三的情形以及对称的重数为四的情形中出现的六生成情形构成两个显式族。对于这些族中的每个理想 $I$，我们证明其 Rees 代数是 Cohen–Macaulay 正规整环。在非对称的重数为四的情形中，$I_{\ell+1}$ 由七个元素生成；对于 $H=\langle4,9,15\rangle$，我们证明其 Rees 代数同样是 Cohen–Macaulay 正规整环。
英文摘要
Let $k$ be an arbitrary field and let $S=k[x,y,z]$ be the polynomial ring with three variables $x,y,z$. We study integrally closed $(x,y,z)$-primary ideals of $S$ that are homogeneous for a positive weighted grading but need not be homogeneous for the standard grading. From a numerical semigroup $H$ of embedding dimension three, we obtain such ideals as inverse images $I_h=φ_H^{-1}(t^hk[t]\cap k[H])$. If $\ell$ is the least degree of a defining relation of $k[H]$, then $I_\ell$ is monomial, whereas $I_{\ell+1}$ has a binomial generator in the cases considered here. We determine $I_{\ell+1}$ for numerical semigroups of embedding dimension three and multiplicity three or four. The six-generated cases arising in multiplicity three and in the symmetric multiplicity-four case form two explicit families. For every ideal $I$ in these families, we prove that its Rees algebra is a Cohen--Macaulay normal domain. In the non-symmetric multiplicity-four case, $I_{\ell+1}$ is seven-generated; for $H=\langle4,9,15\rangle$, we prove that its Rees algebra is again a Cohen--Macaulay normal domain.
