通过查询-草图模型的系统性数据结构下界

中文摘要 AI 辅助

我们研究了近似矩阵幂（AMP）问题的数据结构下界。给定一个次随机对称矩阵 $\mathbf{M}\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 以及参数 $k$ 和 $\alpha$，目标是预处理 $\mathbf{M}$，以便回答条目查询 $(u,v)\mapsto \mathbf{M}^{k}[u,v]$，误差为加性误差 $1/n^{\alpha}$。我们关注简洁且系统性（succinct and systematic）体制下的AMP问题，在该体制中，数据结构逐字存储 $\mathbf{M}$，使用额外的 $r$ 位冗余，并且必须通过仅探测 $\mathbf{M}$ 的少量条目来回答查询。我们的主要概念贡献是一个用于证明系统性数据结构的探测-冗余权衡的通用框架。我们引入了查询-草图（query-with-sketch）模型，并开发了一种基于最小熵的方法，该方法将无冗余情况下的条件最小熵下界提升为有冗余情况下的探测下界。然后，我们使用特定于问题的分析和代数工具建立这些最小熵界，用于AMP及其变体的下游应用。因此，我们的结果为Patrascu和Roditty（2010）关于常数时间集合不相交查询所需空间的猜想提供了新的无条件证据。

英文摘要

We study data structure lower bounds for the Approximate Matrix Powering (AMP) problem. Given a substochastic, symmetric matrix $\mathbf{M}\in\mathbb{R}^{n\times n}$ and parameters $k$ and $α$, the goal is to preprocess $\mathbf{M}$ so as to answer entry queries $(u,v)\mapsto \mathbf{M}^{k}[u,v]$ up to additive error $1/n^α$. We focus on AMP in the succinct and systematic regime, in which the data structure stores $\mathbf{M}$ verbatim, uses an additional $r$ bits of redundancy, and must answer queries by probing only a small number of entries of $\mathbf{M}$. Our main conceptual contribution is a general framework for proving probe--redundancy trade-offs for systematic data structures. We introduce the query-with-sketch model and develop a min-entropy-based approach that lifts conditional min-entropy bounds in the absence of redundancy to probe lower bounds in the presence of redundancy. We then establish these min-entropy bounds using problem-specific analytic and algebraic tools, for the downstream applications to AMP and its variants. As a consequence, our results provide new unconditional evidence toward a conjecture of Patrascu and Roditty (2010) on the space required for constant-time set-disjointness queries.

发表机构

• Rutgers University（罗格斯大学）
• Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
• Meta

机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。

补充信息

备注

CCC 2026