平均双曲性的定量树相似度界
A quantitative tree-likeness bound from average hyperbolicity
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中文总结 AI 辅助
本文建立了平均双曲性与树逼近误差之间的显式定量界，证明了有界相似函数的树表示误差不超过平均双曲性的立方根乘以常数，并探讨了最优依赖关系。
中文摘要 AI 辅助
Chatterjee 和 Sloman 证明了，一个有界可测相似函数若具有足够小的平均 Gromov 双曲性，则存在一个具有小平均逼近误差的树表示。他们的论证使用了 Szemerédi 正则引理的加权版本，并未给出有用的定量界。在此，我们建立了平均双曲性与平均树逼近误差之间的显式关系。对于相似函数 $s:S\times S\to[0,b]$，我们证明 \\[ \Tree(s) \leq (63/e)^{1/3} \sqrt[3]{b^2 \Hyp(s)} \leq 2.8512 \sqrt[3]{b^2 \Hyp(s)}。\\] 证明使用了受 \textsc{KwikCluster} 启发的简单枢轴构造。我们还讨论了平均双曲性的最优依赖关系，包括平方根下界，以及与超度量拟合的联系。
英文摘要
Chatterjee and Sloman proved that a bounded measurable similarity function with sufficiently small average Gromov hyperbolicity admits a tree representation with small mean approximation error. Their argument uses a weighted version of Szemerédi's regularity lemma and does not yield explicit quantitative bounds. Here, we establish a tighter relation between average hyperbolicity and mean tree approximation error. For a similarity function $s:S\times S\to[0,b]$, we prove that $$\operatorname{Tree}(s) \leq (63/e)^{1/3} \sqrt[3]{b^2 \operatorname{Hyp}(s)} \leq 2.8512 \sqrt[3]{b^2 \operatorname{Hyp}(s)}.$$ The proof uses a simple pivoting construction inspired by \KwikCluster. We also discuss the optimal dependence on average hyperbolicity, including a square-root lower bound, and connections with ultrametric fitting.
发表机构
- Yale University（耶鲁大学）
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