发表机构
Univ Rennes CNRS, IRMAR; University of Chicago; Center for Communications Research（雷恩大学 法国国家科学研究中心 数学研究所; 芝加哥大学; 通信研究中心）
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本文证明平面去掉康托集的映射类群在射线图上的平移长度受拓扑熵除以log(2)控制，通过组合与几何论证结合，并猜想光滑性条件可去除。
AI 中文摘要
设 $\Gamma$ 为平面去掉一个康托集后的映射类群，作用在射线图 $\mathcal{R}$ 上，对 $\gamma \in \Gamma$，令 $\tau(\gamma)$ 表示 $\gamma$ 在 $\mathcal{R}$ 上的平移长度。我们证明：对表示 $\gamma$ 的每个 $S^2$ 上的 $C^\infty$ 微分同胚 $f$，有 $\tau(\gamma) \le h(f)/\log(2)$，其中 $h$ 表示拓扑熵。证明分为两部分：一个组合论证，用几何交点数目的对数来界定 $\mathcal{R}$ 中两条射线之间的距离；一个几何论证，将几何控制（固定射线迭代的粗长度）提升为组合控制（几何交点数）。我们猜想 $f$ 的 $C^\infty$ 假设可以去掉。
英文摘要
Let $Γ$ be the mapping class group of the plane minus a Cantor set, acting on the ray graph $\mathcal{R}$, and for $γ\in Γ$ let $τ(γ)$ denote the translation length of $γ$ on $\mathcal{R}$. We prove that $τ(γ) \le h(f)/\log(2)$ for every $C^\infty$ diffeomorphism $f$ of $S^2$ representing $γ$, where $h$ denotes topological entropy. The proof falls into two parts: a combinatorial argument bounding distance between two rays in $\mathcal{R}$ by the logarithm of the geometric intersection number; and a geometric argument that promotes geometric control (coarse length of iterates of a fixed ray) to combinatorial control (geometric intersection number). We conjecture that the $C^\infty$ hypothesis on $f$ can be removed.
Comments13 pages, 4 figures
