发表机构
National University of Singapore; University of Bath（新加坡国立大学; 巴斯大学）
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本文研究交换环与其形式幂级数环的维数关系，证明有限维数对恰为(0,1)及满足1≤n<m的(n,m)，完整刻画了所有可能情形。
AI 中文摘要
理解 $\dim R$ 与 $\dim R[[x]]$ 之间的关系是交换代数中的一个经典问题。对于诺特环 $R$，有 $\dim R[[x]]=\dim R+1$，但一般情形要复杂得多。1973年，Arnold 证明了有限幂级数维数需要强有限型（SFT）条件，而2002年，Coykendall 构造了一个一维 SFT 整环，其幂级数环具有无限维数。Coykendall 和 Gilmer 提出的问题——$\dim R[[x]]<\infty$ 是否迫使 $\dim R[[x]]\le2\dim R+1$——在2009年被 Kang 和 Park 否定回答。在本文中，我们证明，当 $R$ 取遍所有非零有单位交换环时，有限对 $(\dim R,\dim R[[x]])$ 恰好是 $(0,1)$ 以及满足 $1\le n<m$ 的对 $(n,m)$。
英文摘要
Understanding the relation between $\dim R$ and $\dim R[[x]]$ is a classical problem in commutative algebra. For a Noetherian ring $R$, one has $\dim R[[x]]=\dim R+1$, but the general case is considerably more delicate. In 1973, Arnold proved that finite power-series dimension requires the strong finite type (SFT) condition, whereas, in 2002, Coykendall constructed a one-dimensional SFT domain whose power series ring has infinite dimension. The question of Coykendall and Gilmer whether $\dim R[[x]]<\infty$ forces $\dim R[[x]]\le2\dim R+1$ was answered negatively by Kang and Park in 2009. In this paper, we prove that, as $R$ ranges over the nonzero commutative rings with identity, the finite pairs $(\dim R,\dim R[[x]])$ are exactly $(0,1)$ and the pairs $(n,m)$ with $1\le n<m$.
