导数 Bézout 逆与多点求值之间的一般特征零等价性

中文摘要 AI 辅助

设 $a_1,\ldots,a_m$ 是域 $K$ 中互不相同的元素，令 $Z(X)=\prod_{i=1}^m (X-a_i)$。我们研究计算满足 $sZ+tZ'=1$ 的唯一规范化 Bézout 对 $s,t$ 的算术复杂度，其中 $°t<m$ 且 $°s<m-1$。经典的乘积树方法需要 $O(M_K(m)\log m)$ 次域运算，其中 $M_K(m)$ 表示在 $K$ 上相乘次数小于 $m$ 的多项式的代价。因此，即使当 $M_K(m)=O(m\log m)$ 时，得到的界是 $O(m\log^2 m)$ 而不是 $O(m\log m)$。在特征零的无限域上，我们证明，在一般的直线程序模型中，计算规范 Bézout 对的所有系数等价于任意节点多点多项式求值和插值，其代价至多相差一个加法项 $O(M_K(m))$。主要成分是一个显式的微分重构，它在非空 Zariski 开子集上以 $O(M_K(m))$ 次算术运算从 $(s,t)$ 恢复 $Z$。将此重构与自动微分和转置相结合，得到复杂度等价性。我们进一步将 Strassen 关于初等对称函数的下界转移到 Bézout 问题上，得到 $\Omega(m\log m)$ 的非标量下界。因此，如果在该模型中存在 $O(m\log m)$ 算法，则它将是渐近最优的。该重构本质上依赖于特征：在特征 $p$ 中，所有无平方多项式 $X^p+cX+d$（其中 $c\ne 0$ 固定）具有相同的规范化 Bézout 对 $(0,c^{-1})$。因此，所有域、所有输入的 $O(m\log m)$ 问题仍然是开放的；然而，在特征零的一般情况下，它被归约为相应的任意节点多点求值和插值问题。

英文摘要

Let $a_1,\ldots,a_m$ be distinct elements of a field $K$, and let $Z(X)=\prod_{i=1}^m (X-a_i)$. We study the arithmetic complexity of computing the unique normalized Bezout pair $s,t$ satisfying $sZ+tZ'=1$, with $°t<m$ and $°s<m-1$. The classical product-tree approach requires $O(M_K(m)\log m)$ field operations, where $M_K(m)$ denotes the cost of multiplying degree-$<m$ polynomials over $K$. Thus, even when $M_K(m)=O(m\log m)$, the resulting bound is $O(m\log^2 m)$ rather than $O(m\log m)$. Over an infinite field of characteristic zero, we prove that, in the generic rational straight-line-program model, computing all coefficients of the canonical Bezout pair is equivalent, up to an additive $O(M_K(m))$ cost, to arbitrary-node multipoint polynomial evaluation and to interpolation. The main ingredient is an explicit differential reconstruction that recovers $Z$ from $(s,t)$ in $O(M_K(m))$ arithmetic operations on a nonempty Zariski-open subset. Combining this reconstruction with automatic differentiation and transposition yields the complexity equivalence. We further transfer Strassen's lower bound for the elementary symmetric functions to the Bezout problem, obtaining an $Ω(m\log m)$ nonscalar lower bound. Hence an $O(m\log m)$ algorithm, if it exists in this model, would be asymptotically optimal. The reconstruction is genuinely characteristic-dependent: in characteristic $p$, all squarefree polynomials $X^p+cX+d$, with fixed $c\ne 0$, have the same normalized Bezout pair $(0,c^{-1})$. Therefore the all-field, all-input $O(m\log m)$ problem remains open; generically in characteristic zero, however, it is reduced to the corresponding arbitrary-node multipoint evaluation and interpolation problem.

发表机构

• UCSI University（思特雅大学）

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