AI 中文总结
本文证明任意最大度 $d\ge3$ 的简单图存在边符号，使符号邻接矩阵谱半径不超过 $2\sqrt{2(d-1)}$，从而将 Bilu-Linial 猜想近似到 $\sqrt2$ 因子内。
AI 中文摘要
Bilu 和 Linial 猜想：若 $d\ge 2$，则每个 $d$-正则图 $G$ 存在一个边符号函数 $\sigma:E(G)\to\{-1,1\}$，使得其符号邻接矩阵 $A_\sigma$ 满足 Ramanujan 界 \begin{equation*} \rho(A_\sigma)\le 2\sqrt{d-1} \end{equation*}，并且他们证明了 \begin{equation*} \rho(A_\sigma)=O\\!\left(\sqrt{d\log^3 d}\right)。 \end{equation*} 利用交错多项式方法，Marcus、Spielman 和 Srivastava 证实了该猜想的一侧：存在一个符号函数 $\sigma$ 使得 \\[ \lambda_{\max}(A_\sigma)\le 2\sqrt{d-1}。 \\] 通过从 $G$ 的一个平衡定向构造一个辅助二分图并应用二分图符号论证，我们证明了每个最大度为 $d\ge 3$ 的有限简单图 $G$ 都存在一个边符号函数 $\sigma$，使得 \\[ \rho(A_\sigma) \le 4\sqrt{\left\lceil \frac d2\right\rceil-1} \le 2\sqrt{2(d-1)}。 \\] 因此，我们得到了一个至多比猜想 Ramanujan 界差 $\sqrt2$ 因子的界。
英文摘要
Bilu and Linial conjectured that if $d\ge 2$, then every $d$-regular graph $G$ has an edge signing $σ:E(G)\to\{-1,1\}$ such that its signed adjacency matrix $A_σ$ satisfies the Ramanujan bound \begin{equation*} ρ(A_σ)\le 2\sqrt{d-1} \end{equation*} and they proved that \begin{equation*} ρ(A_σ)=O\!\left(\sqrt{d\log^3 d}\right). \end{equation*} Using a method of interlacing polynomials, Marcus, Spielman, and Srivastava confirmed one side of this conjecture that there is a signing $σ$ for which \[ λ_{\max}(A_σ)\le 2\sqrt{d-1}. \] By constructing an auxiliary bipartite graph from a balanced orientation of $G$ and applying a bipartite signing argument, we prove that every finite simple graph $G$ of maximum degree $d\ge 3$ admits an edge signing $σ$ such that \[ ρ(A_σ) \le 4\sqrt{\left\lceil \frac d2\right\rceil-1} \le 2\sqrt{2(d-1)}. \] Thus we obtain a bound within a factor at most $\sqrt2$ of the conjectured Ramanujan bound.
