奇异 $p$-Laplace 方程径向解当 $p\to1$ 时的渐近行为

中文摘要 AI 辅助

我们研究正径向整体解 $u_p$ 的奇异极限 $p \downarrow 1$，其中 $u_p$ 满足方程 $-\Delta_p u_p=F_p\left(|x|, u_p,\left|\nabla u_p\right|\right) u_p^{-\beta_p}$ 于 $\mathbb{R}^n$ 中，这里 $n \geq 2$，$1<p<\min \{2, \sqrt{n}\}$，且 $0 \leq \beta_p \leq p-1$。假设 $F_p \rightarrow F_1$ 局部一致成立，且 $\frac{\beta_p}{p-1} \rightarrow \mathbf{c} \in[0,1]$ 当 $p \downarrow 1$ 时，我们证明，在取子列后，$u_{p_j} \rightarrow u$ 于 $C_{\text {loc }}\left(\mathbb{R}^n\right)$ 中，且 $\nabla u_{p_j} \stackrel{*}{\rightharpoonup} \nabla u$ 于 $L_{\text {loc }}^{\infty}\left(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n\right)$ 中，其中 $u \in W^{1, \infty}\left(\mathbb{R}^n\right)$ 是径向的，并求解 $-\Delta_1 u=\mathtt{K}(|x|)$ 于 $\mathbb{R}^n$ 中。在集合 $\left\{x \in \mathbb{R}^n \mid \mathtt{G}(|x|)<1\right\}$ 上，我们证明 $\mathtt{K}(|x|)=w^{-\mathbf{c}} F_1(|x|, u(x), 0)$ 且 $\nabla u=0$ 几乎处处成立，其中 $u_{p_i}^{p_i-1} \rightarrow w$。另一方面，我们证明如果 $\rho \mapsto F_1(r, t, \rho)$ 对每个 $r$ 和 $t$ 都是仿射的，则 $\mathtt{K}(|x|)=w^{-\mathbf{c}} F_1(|x|, u(x),|\nabla u(x)|)$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中几乎处处成立。对于 $n=1$ 且 $1<p<2$，我们研究方程 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x}\left(\left|u_p^{\prime}\right|^{p-2} u_p^{\prime}\right)=\mathtt{F}_p\left(|x|, u_p,\left|u_p^{\prime}\right|\right) u_p^{-\beta_p}$ 于 $\mathbb{R}$ 中，并在 $p \downarrow 1$ 时获得类似结果。

英文摘要

We study the singular limit $p \downarrow 1$ for positive radial entire solutions $u_p$ of $$ -Δ_p u_p=F_p\left(|x|, u_p,\left|\nabla u_p\right|\right) u_p^{-β_p} \quad \text { in } \mathbb{R}^n, $$ where $n \geq 2,1<p<\min \{2, \sqrt{n}\}$, and $0 \leq β_p \leq p-1$. Assuming that $$ F_p \rightarrow F_1 \quad \text { locally uniformly }, \quad \frac{β_p}{p-1} \rightarrow \mathbf{c} \in[0,1] \quad \text { as } p \downarrow 1, $$ we prove that, after passing to a subsequence, $u_{p_j} \rightarrow u$ in $C_{\text {loc }}\left(\mathbb{R}^n\right)$ and $\nabla u_{p_j} \stackrel{*}{\rightharpoonup} \nabla u$ in $L_{\text {loc }}^{\infty}\left(\mathbb{R}^n ; \mathbb{R}^n\right)$, where $u \in W^{1, \infty}\left(\mathbb{R}^n\right)$ is radial, and solves $$ -Δ_1 u=\mathtt{K}(|x|) \quad \text { in } \mathbb{R}^n . $$ On $\left\{x \in \mathbb{R}^n \mid \mathtt{G}(|x|)<1\right\}$, we prove that $\mathtt{K}(|x|)=w^{-\mathbf{c}} F_1(|x|, u(x), 0)$ and that $\nabla u=0$ a.e., where $u_{p_i}^{p_i-1} \rightarrow w$. On the other hand, we show that if $ρ\mapsto F_1(r, t, ρ)$ is affine for every $r$ and $t$, then $\mathtt{K}(|x|)=$ $w^{-\mathbf{c}} F_1(|x|, u(x),|\nabla u(x)|)$ a.e. in $\mathbb{R}^n$. For $n=1$ and $1<p<2$, we study $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x}\left(\left|u_p^{\prime}\right|^{p-2} u_p^{\prime}\right)=\mathtt{F}_p\left(|x|, u_p,\left|u_p^{\prime}\right|\right) u_p^{-β_p} \quad \text { in } \mathbb{R} $$ and obtain analogous results as $p \downarrow 1$.

发表机构

• Universidade Federal de Minas Gerais（米纳斯吉拉斯联邦大学）

机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。

补充信息

备注

35 pages