AI 中文总结
本文证明了 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ 的 Zariski 稠密离散子群对应的平稳测度关于 $\mathrm{SO}(2)$-不变测度奇异，通过比较有限覆盖上的绕转方差和拓扑障碍完成证明。
AI 中文摘要
设 $\mu$ 是 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ 上的有限支撑概率测度，其支撑生成一个 Zariski 稠密的离散子群。我们证明其在 $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ 上的平稳概率测度关于 $\mathrm{SO}(2)$-不变概率测度是奇异的。证明比较了闭双曲曲面有限覆盖上的绕转方差，并使用了拓扑障碍。
英文摘要
Let $μ$ be a finitely supported probability measure on $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ whose support generates a Zariski-dense discrete subgroup. We prove that its stationary probability measure on $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ is singular with respect to the $\mathrm{SO}(2)$-invariant probability measure. The proof compares winding variances on finite covers of a closed hyperbolic surface and uses a topological obstruction.
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