发表机构
Skyserv Handling Services; Carnegie Mellon University（Skyserv Handling Services; 卡内基梅隆大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文针对 Balogh-Bollobás-Narayanan 猜想，即正则超图中弱独立集数由拟二部构造最大化，提供了渐近、反例及精确情形等多类证据，并利用容器方法、占用方法和熵分解等技术证明了相关结果。
AI 中文摘要
Balogh、Bollobás 和 Narayanan 猜想：在所有有限简单 $r$-一致 $d$-正则超图中，弱独立集的数量由一种自然的拟二部构造 $H_{r,d}$ 达到最大。我们为这一猜想提供了三类证据。对于每个固定的 $r$，我们证明了当孪生商具有最大对共度 $o(d)$ 时，所猜想的渐近指数速率成立。证明使用了超图容器方法。对于没有交叉边的超图，占用方法给出了更精确的误差界 $O_r(\log d/d)$。我们通过为每个 $r\ge 3$ 提供反例，表明基于所谓的占用分数的更强版本的猜想并不成立。我们还证明了当超图是 $2$-正则时猜想的精确情形。利用对偶边覆盖问题中的熵分解，我们解决了所有奇数 $r$ 以及 $(r,d)=(4,2)$ 的情形。
英文摘要
Balogh, Bollobás and Narayanan conjectured that among all finite simple $r$-uniform $d$-regular hypergraphs, the number of weak independent sets is maximized by a natural quasi-bipartite construction $H_{r,d}$. We give three types of evidence for this conjecture. For every fixed $r$, we prove the conjectured asymptotic exponential rate whenever the twin quotient has maximum pair codegree $o(d)$. The proof uses the hypergraph container method. For hypergraphs with no cross-edges, the occupancy method gives the sharper error bound $O_r(\log d/d)$. We show that a stronger version of the conjecture in terms of the so-called occupancy fraction is not true, by providing a counterexample for every $r\ge 3$. We also prove exact cases of the conjecture when the hypergraph is $2$-regular. Using an entropy decomposition in the dual edge-cover problem, we settle every odd $r$ and the case $(r,d)=(4,2)$.
Comments28 pages
