发表机构
Faculty of Mathematics and Computer Science, Adam Mickiewicz University（亚当·密茨凯维奇大学数学与计算机科学系）
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本文在ZFC中构造了无强正规子序列的归一化弱零序列，否定回答了Śliwa的问题，并给出了$\u2113_1(\u03ba)$上该性质的上下界，同时提供了不同构于$\u2113_1(\u0393)$的Banach序列空间反例。
AI 中文摘要
设$(y_n^*)$是$E^*$单位球面中的一个序列，若满足$\u2211_n|y_n^*(x)|<\u221e$的向量$x\u2208E$构成一个稠密子空间，则称该序列为强正规的。对于每个基数至少为连续统势的集合$\u0393$，我们在$\u2113_1(\u0393)^*$中构造了一个归一化的弱零序列，该序列没有强正规子序列。这否定了Śliwa在ZFC中的一个问题。结合低于有界数$\u2119$的经典选择论证，该构造给出了$\u2113_1(\u03ba)$上此子序列性质的正负界限。其在$\u2113_1(\u03c9_1)$上的有效性独立于ZFC。中间范围$\u2119\u2264\u03ba<\u2119\u1d9c$仍未被这些结果所决定。我们还给出了一个Banach序列空间中的反例，该空间不同构于任何$\u2113_1(\u0393)$。
英文摘要
A sequence $(y_n^*)$ in the unit sphere of $E^*$ is strongly normal if the vectors $x\in E$ satisfying $\sum_n|y_n^*(x)|<\infty$ form a dense subspace. For every set $Γ$ of cardinality at least the continuum, we construct a normalized weakly null sequence in $\ell_1(Γ)^*$ with no strongly normal subsequence. This answers a question of Śliwa negatively in ZFC. Together with the classical selection argument below the bounding number $\mathfrak b$, the construction gives positive and negative bounds for this subsequence property on $\ell_1(κ)$. Its validity on $\ell_1(ω_1)$ is independent of ZFC. The intermediate range $\mathfrak b\leqslantκ<\mathfrak c$ remains undecided by these results. We also give a counterexample in a Banach sequence space that is not isomorphic to any $\ell_1(Γ)$.
