环是 $\chi$-有界的

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我们证明存在一个函数 $f:\mathbb N\to\mathbb N$，使得对于任意环 $R$ 的零因子图，若团数有限，则 $\chi(\Gamma(R))\leq f(\omega(\Gamma(R)))$。一方面，这巩固了 Beck 于 1988 年提出的一个被推翻的猜想，该猜想声称对于含幺交换环，$\chi(\Gamma(R))=\omega(\Gamma(R))$。虽然之前的反例满足 $\chi(\Gamma(R))\leq \omega(\Gamma(R))+2$，但我们在有限交换环中得到了下界 $f\geq k^{\Omega(\log k)}$。最后，我们证明有限交换半环的零因子图以及有限交换非结合环的零因子图都不是 $\chi$-有界的。

英文摘要

We prove that there is a function $f:\mathbb N\to\mathbb N$ such that $χ(Γ(R))\leq f(ω(Γ(R)))$ for the zero-divisor graph of any ring $R$, if the clique number is finite. On the one hand, this consolidates a disproved conjecture of Beck from 1988, claiming $χ(Γ(R))=ω(Γ(R))$ for unital commutative rings. While previous counterexamples satisfy $χ(Γ(R))\leq ω(Γ(R))+2$, we obtain the lower bound $f\geq k^{Ω(\log k)}$ among finite commutative rings. Finally, we show that neither zero-divisor graphs of finite commutative semirings nor those of finite commutative nonassociative rings are $χ$-bounded.

发表机构

• Universidad de Valladolid（瓦拉多利德大学）
• Universidad de La Laguna（拉古纳大学）
• Universitat de Barcelona（巴塞罗那大学）
• Centre de Recerca Matemàtica (CRM)（数学研究中心）

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