Szpiro猜想的改进界

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在关于所有定义在有理数域上的椭圆曲线E的Szpiro猜想方向上，当前最佳界为log Δ ≪ N log N，其中Δ是E的最小判别式的绝对值，N是E的导子（隐含常数为绝对常数）。该界可追溯至2013年。我们得到了更强的界log Δ ≪ N log log N，此前仅在广义黎曼假设（GRH）下已知。此外，对于半稳定椭圆曲线，我们证明了log Δ ≪ N。我们的方法建立在作者为通过Shimura曲线逼近abc猜想而发展的理论之上。

英文摘要

In the direction of Szpiro's conjecture for all elliptic curves $E$ over $\mathbb{Q}$, the current best bound is $\log Δ\ll N \log N$ where $Δ$ is the absolute value of the minimal discriminant of $E$ and $N$ is the conductor of $E$ (the implicit constant is absolute). This bound dates back to 2013. We obtain the stronger bound $\log Δ\ll N\log \log N$ which was previously known only under GRH. In addition, for semistable elliptic curves we prove $\log Δ\ll N$. Our methods build on the theory developed by the author for approaching the $abc$ conjecture via Shimura curves.

发表机构

• Pontificia Universidad Católica de Chile（智利天主教 Pontificia 大学）

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