关于Sarnak--Strömbergsson猜想

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设$\Th(\alpha,L)=\sum_{v\in L}e^{-\pi\alpha|v|^2}$（$\alpha>0$）和$E(L,s)=\sum_{v\in L\setminus\{0\}}|v|^{-2s}$（$s>3/2$）分别为与格$L$相关的theta函数和Epstein zeta函数。我们特别关注物理相关的三维情形。固定格$L$的协体积为$1$。在正交变换的意义下，我们证明\begin{equation}\nonumber \argmin_{|L|=1}\Th(\alpha,L)= \begin{cases} \boldsymbol{\mathrm{FCC}}\\;\\;\mathrm{lattice},\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;&\text{if}\\;\\; \alpha>1, \boldsymbol{\mathrm{BCC}}\\;\\;\mathrm{lattice}, \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;&\text{if}\\;\\; \alpha<1, \boldsymbol{\mathrm{FCC}}\\;\\;\mathrm{or}\\;\\; \boldsymbol{\mathrm{BCC}}\\;\\;\mathrm{lattice},\\;\\;&\text{if}\\;\\;\alpha=1, \end{cases} \end{equation} 且\begin{equation}\nonumber \argmin_{|L|=1}E(L,s)= \boldsymbol{\mathrm{FCC}}\\;\\;\mathrm{lattice},\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\text{if}\\;\\; s>3/2. \end{equation} 因此，我们证明了Sarnak--Strömbergsson猜想。

英文摘要

Let $\Th(α,L)=\sum_{v\in L}e^{-πα|v|^2}$ for $α>0$ and $E(L,s)=\sum_{v\in L\setminus\{0\}}|v|^{-2s}$ for $s>3/2$ be the theta and Epstein zeta functions associated to the lattice $L$, respectively. We are particularly interested in physically relevant dimension three. Fix the covolume of the lattice $L$ to $1$. Up to an orthogonal transformation, we prove that \begin{equation}\nonumber \argmin_{|L|=1}\Th(α,L)= \begin{cases} \boldsymbol{\mathrm{FCC}}\;\;\mathrm{lattice},\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;&\text{if}\;\; α>1, \boldsymbol{\mathrm{BCC}}\;\;\mathrm{lattice}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&\text{if}\;\; α<1, \boldsymbol{\mathrm{FCC}}\;\;\mathrm{or}\;\; \boldsymbol{\mathrm{BCC}}\;\;\mathrm{lattice},\;\;&\text{if}\;\;α=1, \end{cases} \end{equation} and \begin{equation}\nonumber \argmin_{|L|=1}E(L,s)= \boldsymbol{\mathrm{FCC}}\;\;\mathrm{lattice},\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\text{if}\;\; s>3/2. \end{equation} Therefore, we prove the Sarnak--Strömbergsson conjecture \cite[Inequalities (43)--(44), Section 5]{SS}.

发表机构

• School of Mathematics and Statistics, Jiangxi Normal University（江西师范大学数学与统计学院）
• Jiangxi Applied Mathematical Research Center（江西应用数学研究中心）
• Department of Mathematics, Chinese University of Hong Kong（香港中文大学数学系）

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