秩一矩阵差异与算法化 Kadison--Singer

中文摘要 AI 辅助

我们给出一个确定性多项式时间算法，对于给定的秩至多为一的理性 Hermitian 矩阵 $H_1,\dots,H_N$，该算法找到符号 $s\in\{\pm1\}^N$，使得 $\\|\sum_i s_i H_i\\|\le 13\\|\sum_i H_i^2\\|^{1/2}$。作为推论，对于满足 $\sum_i v_iv_i^*=I$ 且 $\\|v_i\\|^2\le\delta$ 的向量 $v_i$，这些符号产生一个划分 $[N] = S_1 \cup S_2$，使得每一部分满足 $\\|\sum_{i \in S_j} v_i v_i^* - \frac{I}{2}\\| \leq \frac{13}{2}\sqrt\delta$，其中 $j = 1,2$。这为 Kadison--Singer 问题（在 Weaver 的等价差异理论 $\mathsf{KS}_2$ 表述中）提供了一个具有通用常数的确定性多项式时间算法。

英文摘要

We give a deterministic polynomial-time algorithm that, given rational Hermitian matrices $H_1,\dots,H_N$ of rank at most one, finds signs $s\in\{\pm1\}^N$ with $\|\sum_i s_i H_i\|\le 13\|\sum_i H_i^2\|^{1/2}$. As a corollary, for vectors $v_i$ with $\sum_i v_iv_i^*=I$ and $\|v_i\|^2\leδ$, the signs yield a partition $[N] = S_1 \cup S_2$ such that each part satisfies $\|\sum_{i \in S_j} v_i v_i^* - \frac{I}{2}\| \leq \frac{13}{2}\sqrtδ$ for $j = 1,2$. This gives a deterministic polynomial-time algorithm for the Kadison--Singer problem, in Weaver's equivalent discrepancy-theoretic $\mathsf{KS}_2$ formulation, with a universal constant.

发表机构

• University of Chicago（芝加哥大学）

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