大象随机游走的覆盖时间与值域
Cover times and ranges of elephant random walks
- Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications, and Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（北京数学科学与应用研究院，清华大学丘成桐数学科学中心）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
本文研究大象随机游走的覆盖时间与值域，发现一维在p=3/4处相变，高维与简单随机游走同阶，并给出精确渐近与上界。
AI中文摘要：
我们研究了具有记忆参数$p\in[0,1)$的大象随机游走在离散环面上的覆盖时间以及在$\mathbb{Z}^d$上的值域。在一维情形中，在$p=3/4$处存在相变。在远离临界点时，我们确定了平均覆盖时间的一阶精确渐近行为，而在$p=3/4$时，平均覆盖时间的阶为$L^2/\sqrt{\log L}$，比自然波动尺度$L^2/\log L$大一个因子$\sqrt{\log L}$。在三种自然波动归一化下，我们确定了极限分布。在维数$d\geq2$时，对于每个固定的$p<1$，覆盖时间与简单随机游走具有相同的阶，无论是在期望意义下还是在高概率意义下。当$p<(2d+1)/(4d)$时，领先常数也一致，并且在$d\geq3$时等号成立。对于$\mathbb{Z}^d$上的值域，我们证明了当$d=2$且$p<5/8$时，以及当$d\geq3$且$p<1$时，$L^1$收敛到简单随机游走的渐近行为。最后，我们给出了有限群上广义步长强化随机游走覆盖时间的一个上界，该上界以条件$L^\infty$混合剖面表示。
英文摘要：
We study cover times on discrete tori and ranges on $\mathbb{Z}^d$ for elephant random walks with memory parameter $p\in[0,1)$. In dimension one there is a phase transition at $p=3/4$. Away from criticality we determine the exact first-order asymptotics of the mean cover time, while at $p=3/4$ the mean is of order $L^2/\sqrt{\log L}$, a factor $\sqrt{\log L}$ larger than the natural fluctuation scale $L^2/\log L$. We identify the limiting distribution under each of the three natural fluctuation normalizations. In dimensions $d\geq2$, for every fixed $p<1$, the cover time has the same order as for simple random walk, in expectation and with high probability. The leading constants also agree when $p<(2d+1)/(4d)$, and at equality when $d\geq3$. For the range on $\mathbb{Z}^d$, we prove $L^1$ convergence to the simple random walk asymptotics when $d=2$ and $p<5/8$, and for every $p<1$ when $d\geq3$. Finally, we give a cover-time upper bound for generalized step-reinforced random walks on finite groups in terms of a conditional $L^\infty$ mixing profile.
