具有公共吸引子的迭代函数系统的分离条件
Separation Conditions for Iterated Function Systems with a Common Attractor
- HUN-REN-BME Stochastics Research Group（匈牙利研究与创新网络-布达佩斯技术与经济大学随机过程研究组）
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AI总结：
本文证明满足开集条件但不满足强分离条件的迭代函数系统的吸引子，不能由满足强分离条件的有限相似迭代函数系统生成，去除了齐次性假设并否定回答了相关民间问题。
AI中文摘要：
设 $K$ 是 $\u211d^d$ 上有限迭代函数系统 $\Phi=\{\phi_i(x)=a_i O_i x+t_i\}_{i=1}^m$ 的非单点吸引子，其中 $0<a_i<1$，$t_i\in\mathbb{R}^d$，且 $O_i$ 是 $\mathbb{R}^d$ 上的正交变换。假设 $\Phi$ 满足开集条件，但不满足强分离条件。我们证明 $K$ 不能由任何满足强分离条件的有限相似迭代函数系统生成。这去除了 Feng、Ruan 和 Xiong 的一个结果中的齐次性假设，并对关于自相似集生成迭代函数系统分离条件的民间问题给出了否定答案。
英文摘要：
Let $K$ be the non-singleton attractor of a finite iterated function system $Φ=\{ϕ_i(x)=a_i O_i x+t_i\}_{i=1}^m$ on $\mathbb{R}^d$, where $0<a_i<1$, $t_i\in\mathbb{R}^d$ and the $O_i$ are orthogonal transformations on $\mathbb{R}^d$. Suppose that $Φ$ satisfies the open set condition, but not the strong separation condition. We show that $K$ cannot be generated by any finite iterated function system of similitudes satisfying the strong separation condition. This removes the homogeneity assumption from a result of Feng, Ruan and Xiong and gives a negative answer to a folklore question about the separation conditions on the generating iterated function systems of self-similar sets.
