具有两个矩阵权的换位子
Commutators with two matrix weights
AI总结：
本文研究具有两个矩阵权的换位子，刻画了 Calderón--Zygmund 算子换位子的有界性、紧性及 Riesz 变换换位子的 Schatten 类成员资格，并给出 Sobolev 估计。
AI中文摘要：
设 $U,V$ 为矩阵 $\u002cA_p$ 权，$1<p<\u002cinfty$，并设 $B$ 为矩阵值函数。对于具有标量标准核的 Calderón--Zygmund 算子 $T$，我们通过双矩阵 BMO 和消失振荡条件刻画了 $[M_B,T\otimes I_m]:L^p(U)\to L^p(V)$ 的有界性和紧性。逆命题需要非退化条件。对于矩阵 $\mathcal A_2$ 权 $U,V$ 和 $\mathbb R^d$（$d\geq2$）上的固定 Riesz 变换 $R_j$，我们刻画了 $C_{B,R_j}:L^2(U)\to L^2(V)$ 的 Schatten 类成员资格。我们通过两个 Hilbert--Schmidt 立方体振荡上的 $\ell^r$ 和弱 $\ell^d$ 条件刻画了 $r>d$ 时的 $\mathcal S^r$ 成员资格和 $\mathcal S^{d,\infty}$ 成员资格。对于 $0<r\leq d$，$\mathcal S^r$ 成员资格等价于 $B$ 几乎处处为常数。弱端点条件蕴含 $C^1$ 符号的加权一阶 Sobolev 估计，其逆命题对常数或一致椭圆权成立。
英文摘要：
Let $U,V$ be matrix $\mathcal A_p$ weights, $1<p<\infty$, and let $B$ be a matrix-valued function. For Calderón--Zygmund operators $T$ with scalar standard kernels, we characterize boundedness and compactness of $[M_B,T\otimes I_m]:L^p(U)\to L^p(V)$ by two-matrix BMO and vanishing oscillation conditions. The converse statements require non-degeneracy condition. For matrix \(\mathcal A_2\) weights \(U,V\) and a fixed Riesz transform \(R_j\) on \(\mathbb R^d\), \(d\geq2\), we characterize the Schatten class membership of \(C_{B,R_j}:L^2(U)\to L^2(V)\). We characterize $\mathcal S^r$ membership for $r>d$ and $\mathcal S^{d,\infty}$ membership by $\ell^r$ and weak $\ell^d$ conditions on the two Hilbert--Schmidt cube oscillations. For $0<r\leq d$, $\mathcal S^r$ membership is equivalent to $B$ being constant almost everywhere. The weak endpoint condition implies a weighted first-order Sobolev estimate for $C^1$ symbols, with a converse for constant or uniformly elliptic weights.
