发表机构
Rényi Institute; University of Georgia; Charles University Faculty of Mathematics and Physics（雷尼研究所; 佐治亚大学; 查理斯大学数学与物理学院）
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本文证明了差集不含奇数幂偶数项和的集合满足幂次节省上界，并通过贪心构造说明该界形状最优。
AI 中文摘要
我们针对集合 $A\subset [N]$ 获得了一个Furstenberg-Sárközy型结果，其中该集合的差集 $A-A$ 不包含 $s$ 个正整数 $k$ 次幂之和，这里 $k>1$ 为奇数且 $s>0$ 为偶数。具体而言，我们证明此类集合必须满足幂次节省界 $|A| \ll N^{1-\frac1k\min\{s \sigma_k, \\, 1/2\}+\epsilon}$，对任意固定的 $\epsilon>0$ 成立，其中 $\sigma_k >0$ 是经典单变量Weyl估计中任何可容许的节省量。特别地，利用经典理论以及当前可用的最佳经典Weyl和界，我们可以取 $\sigma_k=\max\left\{2^{1-k}, \\, \frac{1}{k(k-1)}\right\}$。一个贪心构造产生集合 $A\subset[N]$ 满足 $|A|\gg N^{1-s/k}$，且 $A-A$ 不包含 $s$ 个正整数 $k$ 次幂之和，因此我们的幂次节省界具有正确的形状。
英文摘要
We obtain a Furstenberg-Sárközy-type result for sets $A\subset [N]$ whose difference set $A-A$ does not contain the sum of $s$-many $k$-th powers of positive integers, with $k>1$ odd and $s>0$ even. Namely, we prove that such sets must satisfy a power-saving bound $|A| \, \ll \, N^{1-\frac1k\min\{s \, σ_k, \, 1/2\}+ε}$ for any fixed $ε>0$, where $σ_k >0 $ is any admissible saving in a classical one-variable Weyl estimate. In particular, we can take $σ_k=\max\left\{2^{1-k}, \, \frac{1}{k(k-1)}\right\}$ using the classical theory and the best currently available bounds for classical Weyl sums. A greedy construction produces a set $A\subset[N]$ with $|A|\gg N^{1-s/k}$ for which $A-A$ contains no sum of $s$-many positive $k$-th powers, so our power-saving bound is of the correct shape.
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