无记忆灾难下的完成时间
On Completion Times under Memoryless Catastrophe
- Shenzhen MSU-BIT University（深圳莫斯科国立技术大学）
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AI总结：
本文研究受独立重置影响的任务完成时间，发现几何尾部灾难是产生均匀仿射PGF结构的唯一类别，并建立了尖锐的Kolmogorov界，揭示了重置下的分布转变现象。
AI中文摘要：
我们研究了在每一步受到独立重置（灾难）影响的任务完成时间。完成时间的概率生成函数（PGF）通过仿射关系依赖于基础过程的PGF，我们系统地利用了这种结构。我们的主要结果表明，在基于年龄的灾难机制中，几何尾部灾难恰好是产生均匀仿射PGF结构的类别；在连续时间中，该特征被精确化为泊松重置。我们建立了指数近似$d_K(T/E[T], \mathrm{Exp}(1))$的阶为$p+|\alpha|$的尖锐双侧Kolmogorov界，从而填补了对数间隙。对带有重置优惠券的优惠券收集器的应用揭示了在重置下不连续的Gumbel到指数转变，而多阶段模型则表现出具有指数收敛速率的高斯到指数转变。
英文摘要：
We study the completion time of a task subject to independent reset (catastrophe) at each step. The completion-time PGF depends on the base-process PGF through an affine relation, and we exploit this structure systematically. Our main result shows that, among age-based catastrophe mechanisms, geometric-tail catastrophe is exactly the class that yields uniform affine PGF structure; in continuous time, the characterization sharpens to Poisson resetting. We establish a sharp two-sided Kolmogorov bound of order $p+|α|$ for the exponential approximation $d_K(T/E[T], \mathrm{Exp}(1))$, thereby closing a logarithmic gap. Applications to the coupon collector with reset coupons reveal a discontinuous Gumbel-to-Exponential transition under resetting, while a multi-phase model exhibits a Gaussian-to-exponential transition with exponential convergence rate.
