AI 中文总结
本文通过引入快速增长权重的加权平均技术，推广了Szemerédi定理，证实了Bergelson-Moreira-Richter猜想，并涵盖了多项式Szemerédi定理及平滑函数下的多重回复厚集结果，同时推广了Boshernitzan均匀分布准则。
AI 中文摘要
我们通过考虑具有快速增长的权重的加权平均，引入了确定多重回复集的组合性质的新技术。我们的主要结果是Szemerédi定理的一个深远推广，该推广还证实了Bergelson-Moreira-Richter的一个猜想，并作为特例包含了Bergelson-Leibman-Lesigne的多项式Szemerédi定理，以及以下事实：如果$f$属于一类广泛的平滑函数，并且对于某个$d\in \mathbb{N}$满足$x^{d-1}\prec f(x)\prec x^d$，那么对于任何$\ell\in \mathbb{N}$，任何可逆保测系统$(X,\mathscr{B},\mu,T)$，以及任何满足$\mu(A)>0$的$A\in \mathscr{B}$，集合$\{n\in \mathbb{N}: \mu(A\cap T^{-[f(n)]}A\cap T^{-2[f(n)]}A\cap \cdots\cap T^{-\ell[f(n)]}A )>0\}$是厚的，即它包含任意长的自然数区间。此外，我们提出并证明了Boshernitzan均匀分布准则的加权平均推广，并在主要结果的证明中使用了该推广。
英文摘要
We introduce new techniques for determining combinatorial properties of sets of multiple recurrence by considering weighted averages with quickly growing weights. Our main result is a far-reaching generalization of Szemerédi's Theorem which additionally confirms a conjecture of Bergelson-Moreira-Richter and contains as special cases both the Polynomial Szemerédi Theorem due to Bergelson-Leibman-Lesigne and the fact that if $f$ belongs to a broad class of smooth functions and satisfies $x^{d-1}\prec f(x)\prec x^d$ for some $d\in \mathbb{N}$ then for any $\ell\in \mathbb{N}$, any invertible measure preserving system $(X,\mathscr{B},μ,T)$, and any $A\in \mathscr{B}$ with $μ(A)>0$, the set $\{n\in \mathbb{N}: μ(A\cap T^{-[f(n)]}A\cap T^{-2[f(n)]}A\cap \cdots\cap T^{-\ell[f(n)]}A )>0\}$ is thick, meaning that it contains arbitrarily long intervals of natural numbers. Additionally, we formulate and prove a generalization to weighted averages of Boshernitzan's criterion for uniform distribution which we use in the proof of our main result.
Comments58 pages
