关于 $W^{*}$-丛的生成元
On Generators for $W^{*}$-bundles
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中文总结 AI 辅助
本文构造了一个紧致可度量化空间上的 $W^{*}$-丛，其每个纤维为可分预对偶的 $\mathrm{II}_{1}$-因子，并证明任意有限个连续截面在某个纤维中不能生成该纤维，从而否定了生成元问题的连续版本。
中文摘要 AI 辅助
我们给出一个显式例子：一个紧致可度量化空间 $K$ 上的 $W^{*}$-丛 $M$，其每个纤维 $M_{p}$ 都是具有可分预对偶的 $\textrm{II}_{1}$-因子，并且满足生成元问题的以下否定形式：给定任意有限族连续截面 $a_{1},\cdots,a_{n}\in M$，存在一个 $p\in K$（依赖于该族），使得 $a_{1,p},\cdots,a_{n,p}$ 不能作为 von Neumann 代数生成 $M_{p}$。更一般地，若 $N$ 是 $M$ 的子丛，且每个纤维具有超有限性、或具有 Cartan 子代数、或由两个交换的扩散子代数生成、或具有扩散的中心序列代数、或由单个连续交换轨道生成，则给定任意有限族连续截面 $a_{1},\cdots,a_{n}\in M$，存在一个 $p\in K$（依赖于该族），使得 $a_{1,p},\cdots,a_{n,p}$ 与 $N_{p}$ 一起不能生成 $M_{p}$。我们讨论对 von Neumann 代数生成元问题的影响：例如，不存在“连续”的方式从可分预对偶的迹 von Neumann 代数的可数个生成元产生单个生成元，至少如果这样的过程同时适用于所有 von Neumann 代数。
英文摘要
We give an explicit example of a $W^{*}$-bundle $M$ over a compact, metrizable space $K$, which has each fiber $M_{p}$ a $\textrm{II}_{1}$-factor with separable predual, and which satisfies the following negation of the generator problem: given any finite family $a_{1},\cdots,a_{n}\in M$ of continuous sections, there is a $p\in K$ (depending upon that family) so that $a_{1,p},\cdots,a_{n,p}$ do not generate $M_{p}$ as a von Neumann algebra. More generally, if $N$ is a sub-bundle of $M$ with the property that each fiber is hyperfinite, or has a Cartan, or is generated by two commuting diffuse subalgebras, or has diffuse central sequence algebra, or is generated by a single sequential commutation orbit, then given any finite family $a_{1},\cdots,a_{n}\in M$ of continuous sections, there is a $p\in K$ (depending upon that family) so that $a_{1,p},\cdots,a_{n,p}$ together with $N_{p}$ do not generate $M_{p}$. We discuss implications for the generator problem for von Neumann algebras: e.g. there is no ``continuous" way to take countably many generators for a tracial von Neumann algebra with separable predual and produce a single generator, at least if such a procedure works for all von Neumann algebras simultaneously.
发表机构
- University of Virginia（弗吉尼亚大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
