发表机构
St. John’s University（圣约翰大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文证明有理数域的伽罗瓦扩张可视为单元素域上的曲线，并给出亏格、尖点与单位根的显式公式，揭示椭圆曲线与分圆域及二次数域扩张的联系。
AI 中文摘要
我们研究一元函数域在单元素域 $\mathbf{F}_1$ 上的情形。证明了 $\mathbf{Q}$ 的伽罗瓦扩张同构于 $\mathbf{F}_1$ 上的曲线，这里曲线理解为 Deitmar 概形。具体地，我们得到了显式公式，将 $\mathbf{F}_1$ 的 $m\ge 1$ 阶扩张 $\mathbf{F}_{1^m}$ 上的代数曲线的亏格和尖点个数与相应数域的 $m$ 次单位根联系起来。由此得出，$\mathbf{F}_1$ 上具有一个尖点的椭圆曲线要么是分圆域，要么是二次数域的最大阿贝尔非分歧扩张。我们的证明依赖于 Drinfeld 模在希尔伯特空间上有界线性算子的表示以及 Cuntz-Krieger 代数的交叉积结构。
英文摘要
We study function fields in one variable over the field with one element $\mathbf{F}_1$. It is proved that the Galois extensions of $\mathbf{Q}$ are isomorphic to the curves over $\mathbf{F}_1$ being understood as the Deitmar schemes. Specifically, one gets explicit formulas linking the genus and the number of cusps of an algebraic curve over the extension $\mathbf{F}_{1^m}$ of order $m\ge 1$ of the field $\mathbf{F}_1$ and the $m$-th roots of unity of the corresponding number field. It follows that elliptic curves with one cusp over $\mathbf{F}_1$ are either the cyclotomic fields or the maximal abelian unramified extensions of the quadratic number fields. Our proof depends on representaion of the Drinfeld modules by the bounded linear operators on a Hilbert space and the crossed product structure of the Cuntz-Krieger algebras.
Comments10 pages, 2 figures
