椭圆曲线 $y^2=x^3+At^6+Bt^3+C$ 在 $\mathbb{Q}(t)$ 上的秩的公式
A formula for the rank over $\mathbb{Q}(t)$ of the elliptic curve $y^2=x^3+At^6+Bt^3+C$
AI总结：
本文给出更广类椭圆曲线 $y^2=x^3+At^6+Bt^3+C$ 在 $\mathbb{Q}(t)$ 上秩与生成元的显式公式，新方法利用几何 Mordell-Weil 群生成元，无需分解为秩一子模，且计算轻量。
AI中文摘要：
本文给出了所有非平凡形如 $y^2=x^3+At^6+Bt^3+C$ 的椭圆曲线在 $\mathbb{Q}(t)$ 上的秩和生成元（至多相差有限指数）的显式公式。这类椭圆曲面比 Kloosterman（2026）和 Desjardins 与 Naskrecki（2024）论文中的 $y^2=x^3+At^6+C$ 类更广。我们的证明提供了一种新方法，利用几何 Mordell-Weil 群的生成元来找到该公式，即使在几何 Mordell-Weil 群（其为 $\mathbb{Z}[\omega]$-模）不再能通过 Kloosterman（2026）和 Desjardins 与 Naskrecki（2024）的方法分解为秩一子模的情况下也适用。此外，我们的证明仅使用了生成元坐标的伽罗瓦群中的少量元素，并且只需轻量的人工计算。
英文摘要：
In this paper, we give an explicit formula for the rank and generators (up to finite index) over $\mathbb{Q}(t)$ of all non-trivial elliptic curves of the form $y^2=x^3+At^6+Bt^3+C$, which is a larger class of elliptic surfaces than the one in Kloosterman's paper (2026) and Desjardins and Naskrecki's paper (2024), namely $y^2=x^3+At^6+C$. Our proof provides a new method to find this formula using generators of the geometric Mordell-Weil group while this geometric Mordell-Weil group (which is a $\mathbb{Z}[ω]$-module) no longer decomposes into rank-one submodules by the methods in Kloosterman's paper (2026) and Desjardins and Naskrecki's paper (2024). Moreover, our proof uses only a few elements in the Galois group of the coordinates of the generators and only light computations by hand.
