非交换 $L_p$-空间中的锐切向不等式
Sharp tangent inequalities in noncommutative $L_p$-spaces
- School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）
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AI总结：
本文在非交换 $L_p$-空间（Haagerup 空间）中建立了锐切向不等式，推广了 Xu 的经典结果，并给出 Ricard--Xu 与 Ball--Carlen--Lieb 凸性不等式的切向形式，常数 $p-1$ 最优，还补充了 $0<p<1$ 时的正性情形。
AI中文摘要：
设 $\mathcal{M}$ 为配备忠实正规半有限权的冯·诺依曼代数，$L_p(\mathcal{M})$ 表示相应的 Haagerup 非交换 $L_p$-空间。对于 $1<p<\infty$，令 $q=p/(p-1)$。对于 $z\in L_q(\mathcal{M})$ 和 $y\in L_p(\mathcal{M})$，记 $\langle z,y\rangle=\operatorname{Re}\operatorname{Tr}(z^*y)$ 为 $L_q(\mathcal{M})$ 与 $L_p(\mathcal{M})$ 之间的典范实对偶配对。定义归一化对偶映射 $J_p(x)=\\|x\\|_p^{\\,2-p}u|x|^{p-1}$（其中 $x=u|x|\neq0$），并令 $J_p(0)=0$。我们建立了锐切向不等式 $$\\|x+y\\|_p^2\ge\\|x\\|_p^2+2\langle J_p(x),y\rangle+(p-1)\\|y\\|_p^2,\qquad x,y\in L_p(\mathcal{M}),\quad 1<p\le2.$$ 反向不等式在 $2\le p<\infty$ 时成立，且常数 $p-1$ 是最优的。我们的不等式将 Xu 的切向不等式 \cite{Xu89} 从经典 $L_p$-空间推广到一般非交换 $L_p$-空间，并提供了 Ricard--Xu 凸性不等式 \cite{RX16} 的锐切向表述。当特化到 Schatten $p$-类时，它又给出了 Ball--Carlen--Lieb 凸性不等式 \cite{BCL94} 的相应切向表述。在适当的正性假设下，我们进一步为 $0<p<1$ 范围内的 Schatten $p$-类建立了 Xu 切向不等式的一个锐补。
英文摘要：
Let $\mathcal{M}$ be a von Neumann algebra equipped with a faithful normal semifinite weight, and let $L_p(\mathcal{M})$ denote the associated Haagerup noncommutative $L_p$-space. For $1<p<\infty$, let $q=p/(p-1)$. For $z\in L_q(\mathcal{M})$ and $y\in L_p(\mathcal{M})$, denote by $\langle z,y\rangle=\operatorname{Re}\operatorname{Tr}(z^*y)$ the canonical real duality pairing between $L_q(\mathcal{M})$ and $L_p(\mathcal{M})$. Define the normalized duality map by $J_p(x)=\|x\|_p^{\,2-p}u|x|^{p-1}$ for $x=u|x|\neq0$, and set $J_p(0)=0$. We establish the sharp tangent inequality $$\|x+y\|_p^2\ge\|x\|_p^2+2\langle J_p(x),y\rangle+(p-1)\|y\|_p^2,\qquad x,y\in L_p(\mathcal{M}),\quad 1<p\le2.$$ The reverse inequality holds for $2\le p<\infty$, and the constant $p-1$ is optimal. Our inequality extends Xu's tangent inequality \cite{Xu89} from classical $L_p$-spaces to general noncommutative $L_p$-spaces and provides the sharp tangent formulation of the Ricard--Xu convexity inequality \cite{RX16}. When specialized to Schatten $p$-classes, it also yields the corresponding tangent formulation of the Ball--Carlen--Lieb convexity inequality \cite{BCL94}. Under a suitable positivity assumption, we further establish a sharp complement to Xu's tangent inequality for Schatten $p$-classes in the range $0<p<1$.
