从阴影双曲积分到 Mittag-Leffler 多项式的余切系数公式

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设 \\(g_n(x)\\) 为由 \\(\sum_{n\ge0}g_n(x)t^n=\frac12\left(\frac{1+t}{1-t}\right)^x\\) 定义的 Mittag-Leffler 多项式。我们推导出系数公式 \\(g_n(x)=\frac1n\sum_{j=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor} (-1)^j\frac{2^{n-2j-1}}{(n-2j-1)!} [u^{2j}](u\cot u)^n\\,x^{n-2j}\\)，等价地 \\([u^{n-r}](u\cot u)^n =(-1)^{(n-r)/2}\frac{n(r-1)!}{2^{r-1}}[x^r]g_n(x)\\)。该恒等式通过比较双曲正切积分 \\(K(a,b)=\int_0^\infty \frac{\tanh^a x}{x^b}\\,dx\\) 的阴影表示与紧凑的余切系数公式而提出，但由生成函数通过形式 Lagrange-Bürmann 反演独立证明。将已证明的桥梁代回积分公式，即可严格推导出阴影 Mittag-Leffler 表示。我们还为 \\(I_{m,n}^{\beta}=\int_0^\infty\frac{\tanh^m x}{x^n\cosh x}\\,dx\\) 开发了 Dirichlet-beta 类比。定义 \\(q_m(x)\\) 为 \\(\sum_{m\ge0}q_m(x)t^m=(1-t^2)^{-1/2}\exp(2x\operatorname{artanh}t)\\)，我们证明 \\([u^{m-r}]\frac{u}{\sin u}(u\cot u)^m =(-1)^{(m-r)/2}\frac{r!}{2^r}[x^r]q_m(x)\\)。这给出了 beta 积分的平行阴影表示。族 \\(q_m\\) 是经典 Meixner 族的 \\(c=-1,\beta=1\\) 平移特化，产生了 beta/Meixner 对应 zeta/Mittag-Leffler 的对应物。

英文摘要

Let \(g_n(x)\) be the Mittag--Leffler polynomials defined by $$ \sum_{n\ge0}g_n(x)t^n=\frac12\left(\frac{1+t}{1-t}\right)^x. $$ We derive the coefficient formula $$ g_n(x)=\frac1n\sum_{j=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor} (-1)^j\frac{2^{n-2j-1}}{(n-2j-1)!} [u^{2j}](u\cot u)^n\,x^{n-2j}, $$ equivalently $$ [u^{n-r}](u\cot u)^n =(-1)^{(n-r)/2}\frac{n(r-1)!}{2^{r-1}}[x^r]g_n(x). $$ The identity is suggested by comparing an umbral representation of the hyperbolic tangent integral $$ K(a,b)=\int_0^\infty \frac{\tanh^a x}{x^b}\,dx $$ with a compact cotangent-coefficient formula, but is proved independently from the generating function by formal Lagrange--Bürmann inversion. Substitution of the proved bridge back into the integral formula then yields a rigorous derivation of the umbral Mittag--Leffler representation. We also develop a Dirichlet--beta analogue for $$ I_{m,n}^β=\int_0^\infty\frac{\tanh^m x}{x^n\cosh x}\,dx. $$ Defining \(q_m(x)\) by $$ \sum_{m\ge0}q_m(x)t^m=(1-t^2)^{-1/2}\exp(2x\operatorname{artanh}t), $$ we prove $$ [u^{m-r}]\frac{u}{\sin u}(u\cot u)^m =(-1)^{(m-r)/2}\frac{r!}{2^r}[x^r]q_m(x). $$ This gives a parallel umbral representation for the beta integrals. The family \(q_m\) is a shifted \(c=-1,β=1\) specialization of the classical Meixner family, yielding a beta/Meixner counterpart to the zeta/Mittag--Leffler correspondence.

发表机构

• Technische Universität Darmstadt（达姆施塔特工业大学）

机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。

补充信息

备注

13 pages