由线性分数阶散度型算子生成的半群在 $L^p(\mathbb{R}^N)$ 中：常系数情形
The semigroup generated by linear fractional divergence form operators in $L^p(\mathbb{R}^N)$: the constant coefficient case
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中文总结 AI 辅助
本文研究常系数分数阶散度型算子的二次型定义 Dirichlet 形式的充要条件，发现正定性在 $0<s<1$ 时不足以保证 Markov 性质，并刻画了相应半群、热核及 $H^\infty$ 演算。
中文摘要 AI 辅助
设 $0<s<1$，$A$ 为常数对称正定矩阵。给定二次型 $$ Q_A(u)=\int_{\R^N} A\nabla^s u(x)\cdot \nabla^s u(x)\\,dx, $$ 其中 $\nabla^s$ 表示 Riesz 分数阶梯度，我们建立了使得 $Q_A$ 定义 Dirichlet 形式的必要且充分条件。与局部情形 $s=1$ 形成鲜明对比的是，当 $0<s<1$ 时，常数矩阵的正定性不足以保证 Markov 性质。我们还描述了相关的对称 Markov 半群及其 $L^p$ 实现，证明了光滑非负热核的存在性，并建立了有界 $H^\infty$ 泛函演算。
英文摘要
Let $0<s<1$ and $A$ be a constant symmetric positive definite matrix. Given the quadratic form $$ Q_A(u)=\int_{\R^N} A\nabla^s u(x)\cdot \nabla^s u(x)\,dx, $$ where $\nabla^s$ denotes the Riesz fractional gradient, we establish necessary and sufficient conditions such that $Q_A$ defines a Dirichlet form. In strike contrast with the local case $s=1$, positive definiteness of a constant matrix is not sufficient for the Markov property when $0<s<1$. We also describe the associated symmetric Markov semigroup and its $L^p$ realizations, prove the existence of a smooth nonnegative heat kernel and establish a bounded $H^\infty$ functional calculus.
