循环群乘积上的强 Naor--Schechtman 卷积不等式

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本文使用鞅方法解决了 Naor 和 Schechtman 在文献 [N-S2016, 问题 6.1]（另见 [Na2016]）中提出的卷积不等式问题。更精确地，我们在有限循环群的乘积上建立了如下强卷积不等式：对每个 $1<p<\infty$ 及任意 $n, m\in \mathbb{N}$，有不等式成立，其中 $p^{*}=\max\{p,p/(p-1)\}$，且对每个 $A\subseteq \{1,\cdots,n\}$，$E_{A}f(x)=\frac{1}{2^{n}}\sum_{\delta\in \{-1,1\}^{n}}f\left(x+\sum_{j\in A}\delta_{j}e_{j}\right)$。

英文摘要

In this paper, we use martingale methods to resolve the convolution inequality problem posed by Naor and Schechtman in \cite[Question 6.1]{N-S2016} (see also \cite{Na2016}). More precisely, we establish the following strong convolution inequality on products of finite cyclic groups. For each $1<p<\infty$ and every $n$, $m\in \mathbb{N}$ we have \[ \begin{split} &\sum_{\varepsilon\in \{-1,1\}^{n}}\sum_{x\in \Z}\left|E_{\{1,\cdots,n\}}f(x+\varepsilon)-E_{\{1,\cdots,n\}}f(x-\varepsilon)\right|^{p}\\ \leq& (p^{*}-1)^{p}\sum_{\varepsilon\in \{-1,1\}^{n}}\sum_{x\in \Z}\left|\varepsilon_{j}\left[E_{\{1,\cdots,n\}\setminus\{j\}}f(x+e_{j})-E_{\{1,\cdots,n\}\setminus\{j\}}f(x-e_{j})\right]\right|^{p}, \end{split} \] where $p^{*}=\max\{p,p/(p-1)\}$ and $E_{A}f(x)=\frac{1}{2^{n}}\sum_{δ\in \{-1,1\}^{n}}f\left(x+\sum_{j\in A}δ_{j}e_{j}\right)$ for every $A\subseteq \{1,\cdots,n\}$.

发表机构

• Central South University（中南大学）

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