发表机构
Nanyang Technological University; Changchun University of Science and Technology; National University of Singapore（南洋理工大学; 长春理工大学; 新加坡国立大学）
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研究高维样本相关矩阵最小非零特征值，在宽数据情形下发现基于三阶尾部尺度的相变，并刻画临界情形的极限分布。
AI 中文摘要
我们研究由 $p_n \times n$ 数据矩阵（其元素为独立同分布实值随机变量 $\xi$，均值为零、方差为一）形成的样本相关矩阵 $\mathbf{R}_n$ 的最小非零特征值，在高维情形 $p_n / n \to \phi \in (0, \infty) \setminus \{1\}$ 下。在 tall 情形 $\phi > 1$ 中，我们证明了 $\lambda_n (\mathbf{R}_n)$ 几乎必然收敛到 Marchenko-Pastur 下边缘 $\lambda_- = (1 - \sqrt{\phi})^2$，且无需额外的矩假设。在 wide 情形 $\phi < 1$ 中，我们建立了三阶尾部尺度下的相变。若 $t^3 \mathbb{P}\{\lvert \xi \rvert > t\} \to 0$（当 $t \to \infty$），则最小特征值 $\lambda_{p_n} (\mathbf{R}_n)$ 依概率收敛到 $\lambda_-$。而若 $t^3 \mathbb{P}\{\lvert \xi \rvert > t\} \to \infty$，则 $\lambda_{p_n} (\mathbf{R}_n)$ 依概率收敛到零。在临界尺度 $t^3 \mathbb{P}\{\lvert \xi \rvert > t\} \to \kappa \in (0, \infty)$ 下，下间隙 $(0, \lambda_-)$ 中的特征值点过程依分布收敛到一个具有显式强度的 Poisson 随机测度。在此临界情形中，我们还确定了 $\lambda_{p_n} (\mathbf{R}_n)$ 的非退化极限分布，该分布在 $(0, \lambda_-)$ 上具有连续密度，并在 $\lambda_-$ 处具有正原子。
英文摘要
We study the smallest nonzero eigenvalue of the sample correlation matrix $\mathbf{R}_n$ formed from a $p_n \times n$ data matrix with i.i.d. real entries $ξ$ of mean zero and unit variance, in the high-dimensional regime $p_n / n \to ϕ\in (0, \infty) \setminus \{1\}$. In the tall regime $ϕ> 1$, we prove almost-sure convergence of $λ_n (\mathbf{R}_n)$ to the lower Marčenko--Pastur edge $λ_- = (1 - \sqrtϕ)^2$ without additional moment assumptions. In the wide regime $ϕ< 1$, we establish a phase transition at the third-order tail scale. If $t^3 \mathbb{P}\{\lvert ξ\rvert > t\} \to 0$ as $t \to \infty$, the smallest eigenvalue $λ_{p_n} (\mathbf{R}_n)$ converges in probability to $λ_-$. While if $t^3 \mathbb{P}\{\lvert ξ\rvert > t\} \to \infty$, then $λ_{p_n} (\mathbf{R}_n)$ converges in probability to zero. At the critical scale $t^3 \mathbb{P}\{\lvert ξ\rvert > t\} \to κ\in (0, \infty)$, the point process of eigenvalues in the lower gap $(0, λ_-)$ converges in distribution to a Poisson random measure with explicit intensity. In this critical regime, we also identify the nondegenerate limiting distribution of $λ_{p_n} (\mathbf{R}_n)$, which has a continuous density on $(0, λ_-)$ and a positive atom at $λ_-$.
