一致范数下采样宽度的尖锐界：核 $D$-最优设计与过采样
A sharp bound for sampling widths in the uniform norm: kernel $D$-optimal designs and oversampling
- Chemnitz University of Technology（开姆尼茨工业大学）
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AI总结：
本文针对再生核希尔伯特空间，证明了一致范数下线性采样宽度与Gelfand宽度之间的尖锐不等式，通过核D-最优设计和低秩逼近技术实现，并推广到约化基选择。
AI中文摘要：
对于每个具有有界核 $K$ 的再生核希尔伯特空间 $\mathcal{H}_K$，我们证明了一致范数下的线性采样宽度 $g_m^{\text{lin}}$ 和 Gelfand 宽度 $c_n$ 满足不等式 $$ g_m^{\text{lin}}(B_{\mathcal H_K})_\infty \leq \frac{m+1}{m-n+1}\\, c_n(B_{\mathcal H_K})_\infty\quad, \quad m\ge n. $$ 在某种意义上，右侧的前导因子 $(m+1)/(m-n+1)$ 是尖锐的。我们将问题转化为选择核平移的最大体积子集（核 $D$-最优设计）。除了基本线性代数外，我们的证明采用了低秩逼近技术和 Eckart-Young-Mirsky 定理的一个版本。同样的论证也给出了希尔伯特空间中约化基选择的相应界。
英文摘要：
For every reproducing kernel Hilbert space $\mathcal{H}_K$ with bounded kernel $K$, we prove that the linear sampling widths $g_m^{\text{lin}}$ and Gelfand widths $c_n$ in the uniform norm satisfy $$ g_m^{\text{lin}}(B_{\mathcal H_K})_\infty \leq \frac{m+1}{m-n+1}\, c_n(B_{\mathcal H_K})_\infty\quad , \quad m\ge n. $$ In a certain sense, the leading factor $(m+1)/(m-n+1)$ on the right-hand side is sharp. We transfer the problem into the selection of a maximal volume subset of kernel translates (kernel $D$-optimal design). Apart from basic linear algebra, our proof employs low rank approximation techniques and a version of the Eckart-Young-Mirsky theorem. The same argument gives corresponding bounds for the selection of a reduced basis in Hilbert spaces.
