发表机构
State Key Laboratory of Mathematical Sciences, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences; Beijing Normal University, School of Mathematical Sciences; Sorbonne Université, Université Paris Cité, CNRS, Laboratoire de Probabilités, Statistique et Modélisation, LPSM（中国科学院数学与系统科学研究院数学科学重点实验室; 北京师范大学数学科学学院; 索邦大学、巴黎西岱大学、法国国家科学研究中心概率统计与建模实验室）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究 $\mathbb{Z}^2$ 上临界分支随机游走的局部存活概率，并利用 Stein 方法证明粒子数在典型位置和总体的 Yaglom 极限定理，证实了 Lalley 和 Zheng 的猜想。
AI 中文摘要
我们考虑 $\mathbb{Z}^2$ 上的分支随机游走，其临界后代均值为 $1$，空间运动由懒惰简单随机游走的跳跃控制。对于每个位置 $x\in\mathbb{Z}^2$，我们获得了局部存活概率的一致渐近估计，即在大时间 $n$ 时 $x$ 处存在粒子的概率。利用 Stein 方法，当 $x$ 距原点距离为 $\sqrt{n}$ 量级时，我们建立了 $x$ 处在时间 $n$ 的粒子数的 Yaglom 型定理。此外，在时间 $n$ 时一个典型粒子所处的位置，该位置上的粒子数除以 $\log n$ 后依分布收敛到 Gamma 分布，从而证实了 Lalley 和 Zheng [Ann. Probab. 39 (2010), 327-368] 的一个猜想。最后，我们证明，在局部存活的条件下，时间 $n$ 时的总粒子数除以 $n$ 也弱收敛到 Gamma 分布。
英文摘要
We consider a branching random walk on $\mathbb{Z}^2$ with critical offspring of mean $1$ and spatial motion governed by the jumps of a lazy simple random walk. For every site $x\in\mathbb{Z}^2$, we obtain a uniform asymptotical estimate for the local survival probability, i.e., the probability that there are particles at $x$ at large time $n$. Using Stein's method, we establish a Yaglom-type theorem for the number of particles at $x$ at time $n$ when $x$ is at distance of order $\sqrt{n}$ from the origin. Moreover, at the position occupied by a typical particle at time $n$, the number of particles at that site, normalized by $\log n$, converges in law to a Gamma distribution, thereby confirming a conjecture of Lalley and Zheng [Ann. Probab. 39 (2010), 327-368]. Finally, we prove that, conditional on local survival, the total number of particles at time $n$, divided by $n$, also converges weakly to a Gamma distribution.
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