四元数反射与 $G_2$ 中的李生成
Quaternionic Reflections and Lie Generation in $G_2$
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中文总结 AI 辅助
本文针对 $G_2$ 中四元数反射，给出生成判据、主 $\mathfrak{su}(2)$ 闭包条件及非生成集描述，并构造稠密子群。
中文摘要 AI 辅助
设 $\mathbb O$ 为实数八元数可除代数，$\mathfrak g_2=\operatorname{Der}(\mathbb O)$。四元数反射 $T\in G_2=\operatorname{Aut}(\mathbb O)$ 逐点固定一个四元数子代数，并将其正交补取负。对于伴随的紧对称对 $\mathfrak g_2=\mathfrak k_T\oplus\mathfrak m_T$，我们给出了一个显式的因式多项式判据，用于判定由独立选取的偶元素和奇元素生成。等价地，对于反射对 $(Z,TZT)$，其中 $Z\in\mathfrak g_2$，判据为 $\mathcal U_{38}=\mathcal R_{30}\mathcal H_8>0$。30 次的 Gram 行列式检测在 $\operatorname{Im}\mathbb O$ 上的可约性，而 8 次的因子检测生成的代数的维数至多为三。一个主 $\mathfrak{su}(2)$ 是剩余不可约的恰当可能性。这样的反射主闭包对于非零 $Z$ 可实现当且仅当其正旋转频率之比为 $1:2:3$；对于每个这样的 $Z$，所有实现的反射由二维环面和一个开区间参数化。当 $Z$ 必须位于固定四元数子代数 $H_A$ 的稳定子代数 $\mathfrak k_A\simeq\mathfrak{so}(4)$ 中时，出现不同的限制。对于每个移动 $H_A$ 的反射，$\mathfrak k_A$ 的固定六个元素列表包含一个生成选择；保持 $H_A$ 的反射则没有。对于一个显式的相对构型 $(\mathfrak k_A,S)$，我们通过四个几何族和六个无冗余的标量方程组描述了整个非生成集。我们确定了其实维数和所有维数至多为三的生成代数；一个齐次 34 次多项式打包了这六个检验。该次数并不声称是规范的或最小的。两个显式的局部坐标映射使用有限时间脉冲中的一个短词和一个反射，其生成的子群在 $G_2$ 中稠密。
英文摘要
Let $\mathbb O$ be the real octonion division algebra and $\mathfrak g_2=\operatorname{Der}(\mathbb O)$. A quaternionic reflection $T\in G_2=\operatorname{Aut}(\mathbb O)$ fixes a quaternionic subalgebra pointwise and negates its orthogonal complement. For the associated compact symmetric pair $\mathfrak g_2=\mathfrak k_T\oplus\mathfrak m_T$, we give an explicit factored polynomial criterion for generation by an independently chosen even element and odd element. Equivalently, for the reflected pair $(Z,TZT)$ with $Z\in\mathfrak g_2$, the criterion is $\mathcal U_{38}=\mathcal R_{30}\mathcal H_8>0$. The degree-30 Gram determinant detects reducibility on $\operatorname{Im}\mathbb O$, while the degree-8 factor detects generated algebras of dimension at most three. A principal $\mathfrak{su}(2)$ is the remaining irreducible proper possibility. Such a reflected principal closure is realizable for a nonzero $Z$ if and only if its positive rotation frequencies have ratio $1:2:3$; for each such $Z$, all realizing reflections are parametrized by a two-torus and an open interval. A different restriction arises when $Z$ must lie in the stabilizer algebra $\mathfrak k_A\simeq\mathfrak{so}(4)$ of a fixed quaternionic subalgebra $H_A$. For every reflection moving $H_A$, a fixed list of six elements of $\mathfrak k_A$ contains a generating choice; reflections preserving $H_A$ admit none. For one explicit relative configuration $(\mathfrak k_A,S)$, we describe the entire nongenerating set by four geometric families and by six irredundant systems of scalar equations. We determine its real dimension and all generated algebras of dimension at most three; a homogeneous degree-34 polynomial packages the six tests. The degree is not asserted to be canonical or minimal. Two explicit local coordinate maps use short words in a finite-time pulse and one reflection, whose generated subgroup is dense in $G_2$.
发表机构
- Universidad Nacional de Colombia（哥伦比亚国立大学）
- Instituto de Física, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Antioquia（安第斯大学自然科学与精确科学学院物理研究所）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
