发表机构
Université d’Angers; CNRS; LAREMA; Uppsala University; Institut Camille Jordan, Université Lyon 1; Institute of Discrete Mathematics, TU Graz（昂热大学; 法国国家科学研究中心; 拉雷马实验室; 乌普萨拉大学; 里昂第一大学卡米尔·若当研究所; 格拉茨理工大学离散数学研究所）
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本文研究按下降次数加权的随机树的标度极限与局部极限，证明固定偏置时收敛于布朗连续随机树，而 $q_n=a/n$ 时收敛于由 Poisson-Dirichlet 序列构造的非平凡树状结构，并给出所有参数区间的局部极限描述。
AI 中文摘要
我们研究了根据下降次数加权的随机树的标度极限和局部极限。有根标记树 $t$ 中的下降是指一对父子节点，使得父节点的标签大于子节点的标签，下降的总次数记为 $\mathrm{des}(t)$。对于 $n \geq 1$ 和 $q_n \geq 0$，我们考虑大小为 $n$ 的树上的概率测度，其中每棵树 $t$ 被选择的概率与 $q_n^{\mathrm{des}(t)}$ 成正比。我们研究了当 $n \to \infty$ 时适当重新标度后的随机树 $\mathcal{T}_n^{(q_n)}$，并关注偏置参数 $q_n$ 的两个区间。当 $q_n = q \in (0,1]$ 固定时，我们证明 $\mathcal{T}_n^{(q)}$ 依分布收敛到布朗连续随机树。当 $q_n = a/n$（其中 $a > 0$ 固定）时，我们证明 $\mathcal{T}_n^{(q_n)}$ 依分布收敛到由 Poisson-Dirichlet 序列构造的非平凡随机树状结构。我们补充了在所有参数区间下 $\mathcal{T}_n^{(q_n)}$ 的 Benjamini-Schramm 局部极限的描述。我们的证明依赖于解析组合学来找到树的某些统计量的渐近行为，并依赖于对下降偏向随机树结构的概率分析。
英文摘要
We investigate scaling and local limits of random trees biased according to their number of descents. A descent in a rooted labeled tree $t$ is a parent-child pair such that the label of the parent is greater than the label of the child, and the total number of descents is denoted by $\mathrm{des}(t)$. For $n \geq 1$ and $q_n \geq 0$, we consider the probability measure on trees of size $n$ where each tree $t$ is chosen with a probability proportional to $q_n^{\mathrm{des}(t)}$. We study the resulting random tree $\mathcal{T}_n^{(q_n)}$ properly rescaled as $n \to \infty$, and focus on two regimes for the bias parameter $q_n$. When $q_n = q \in (0,1]$ is fixed, we prove that $\mathcal{T}_n^{(q)}$ converges in distribution to the Brownian Continuum Random Tree. When $q_n = a/n$ for some fixed $a > 0$, we prove that $\mathcal{T}_n^{(q_n)}$ converges in distribution to a random non-trivial dendron constructed from a Poisson-Dirichlet sequence. We complement these results with a description of the Benjamini-Schramm local limit of $\mathcal{T}_n^{(q_n)}$ in all regimes of parameters. Our proofs rely on analytic combinatorics to find the asymptotics of certain statistics of the tree, and on a probabilistic analysis of the structure of descent-biased random trees.
Comments61 pages, 8 figures. Comments welcome!
