AI 中文总结
本文研究Dirichlet级数加权Banach代数的BSE性质，通过Bohr对应和弱-*逼近框架，证明对任意权重该代数为BSE-代数，且内在BSE范数与加权范数等距。
AI 中文摘要
设 $\omega: \mathbb{N} \to [1, \infty)$ 为自然数乘法半群上的一个权重。我们研究在Dirichlet卷积下Dirichlet级数的加权Banach代数 $A_\omega = \ell^1(\mathbb{N}, \omega)$ 的Bochner-Schoenberg-Eberlein (BSE)性质。通过利用Bohr对应，我们为$\omega$-有界半特征建立了弱-$\ast$逼近框架，该框架使用位于预对偶空间 $c_0(\mathbb{N}, 1/\omega)$ 内的缩放截断。利用双对偶空间 $A_\omega^{\ast\ast} = A_\omega \oplus c_0(\mathbb{N}, 1/\omega)^\perp$ 的典型$L$-投影分解，并结合Banach-Alaoglu定理得到的单位球的弱-$\ast$紧性，我们证明了对任意权重，$A_\omega$ 都是BSE-代数。此外，我们证明了Gel'fand变换上的内在BSE-范数与自然加权代数范数 $\\|\cdot\\|_\omega$ 是等距的。
英文摘要
Let $ω: \mathbb{N} \to [1, \infty)$ be a weight on the multiplicative semigroup of natural numbers. We investigate the Bochner-Schoenberg-Eberlein (BSE) property for the weighted Banach algebra of Dirichlet series $A_ω= \ell^1(\mathbb{N}, ω)$ under Dirichlet convolution. By employing Bohr's correspondence, we establish a weak-$\ast$ approximation framework for $ω$-bounded semicharacters using scaled truncations that lie within the predual space $c_0(\mathbb{N}, 1/ω)$. Utilizing the canonical $L$-projection decomposition of the bidual space $A_ω^{\ast\ast} = A_ω\oplus c_0(\mathbb{N}, 1/ω)^\perp$ alongside the weak-$\ast$ compactness of the unit ball via the Banach-Alaoglu theorem, we prove that $A_ω$ is a BSE-algebra for any weight. Furthermore, we show that the intrinsic BSE-norm on the Gel'fand transforms is isometric to the natural weighted algebra norm $\|\cdot\|_ω$.
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