关于 Erdős 问题 767：带弦的圈
On Erdős Problem 767: Cycles with Chords
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中文总结 AI 辅助
本文完全确定了 Erdős 问题 767 中关于带弦圈的最大边数 $g_k(n)$，给出了精确公式，并证明了 $k\ge2$ 时公式成立的紧阈值，方法基于 Ma 和 Ning 的技术。
中文摘要 AI 辅助
对于整数 $k\ge 1$ 和 $n\ge k+2$，设 $g_k(n)$ 为一个 $n$ 顶点图中不包含某个顶点关联至少 $k$ 条弦的圈的最大边数。Erdős 猜想对于 $n\ge 2k+2$，$g_k(n)=(k+1)(n-k-1)$。Lewin 找到了一个反例。Bollobás 后来猜想存在一个函数 $n(k)$，使得对所有 $n\ge n(k)$，$g_k(n)=(k+1)(n-k-1)$。Jiang 通过证明当 $k\ge1$ 且 $n\ge3k+3$ 时该公式成立，证实了这一猜想。在本文中，我们完全确定了 $g_k(n)$。对所有 $k\ge1$ 和 $n\ge k+2$，我们证明 $g_k(n)=\big\{\lfloor\frac{(k+1)n}{2}\rfloor,\max\{a(n-a)+\lfloor\frac{a(k+1-a)}{2}\rfloor: a\in\mathbb Z,\\; \lfloor {(k+1)}/{2}\rfloor+1\le a\le k+1\}\big\}$。对于 $k\ge2$，我们证明当 $n\ge \lceil(5k+1)/2\rceil$ 时 $g_k(n)=(k+1)(n-k-1)$，并且这个阈值是紧的。我们的证明基于 Ma 和第二作者在 [Ma and Ning, 2020] 中发展的方法。
英文摘要
For integers $k\ge 1$ and $n\ge k+2$, let $g_k(n)$ be the maximum number of edges in an $n$-vertex graph containing no cycle with a vertex incident with at least $k$ chords. Erdős conjectured that $g_k(n)=(k+1)(n-k-1)$ for $n\ge 2k+2$. Lewin found a counterexample. Bollobás later conjectured that there exists a function $n(k)$ such that $g_k(n)=(k+1)(n-k-1)$ for all $n\ge n(k)$. Jiang confirmed this by proving the formula for all $n\ge3k+3$ when $k\ge1$. In this paper, we determine $g_k(n)$ completely. For all $k\ge1$ and $n\ge k+2$, we prove $g_k(n)=\big\{\lfloor\frac{(k+1)n}{2}\rfloor,\max\{a(n-a)+\lfloor\frac{a(k+1-a)}{2}\rfloor : a\in\mathbb Z,\; \lfloor {(k+1)}/{2}\rfloor+1\le a\le k+1\}\big\}$. For $k\ge2$, we prove $g_k(n)=(k+1)(n-k-1)$ when $n\ge \lceil(5k+1)/2\rceil$, and this threshold is sharp. Our proof builds on the method developed by Ma and the second author in [Ma and Ning, 2020].
发表机构
- School of Mathematics and Statistics, Zhengzhou University（郑州大学数学与统计学院）
- College of Computer Science, Nankai University（南开大学计算机学院）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
