指数函数与Weierstrass $\wp$-函数的代数独立性

中文摘要 AI 辅助

设 $\Omega$ 为 $\mathbb{C}$ 中具有代数不变量和复乘法的格，$\mathcal{E}$ 为与 $\Omega$ 相关联的椭圆曲线，$\wp$ 为相对于 $\Omega$ 的Weierstrass函数。令 $k:=\operatorname{End}(\mathcal{E}) \otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$。我们证明：若 $t_1,\dots,t_s$ 是 $\mathbb{Q}$-线性无关的代数数，且 $p_1,\dots,p_n$ 是 $k$-线性无关的代数数，则这 $s+n$ 个数 $\mathrm{e}^{t_1},\dots,\mathrm{e}^{t_s}, \wp(p_1),\dots,\wp(p_n)$ 在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上代数独立。证明使用了与这些点相关联的 $1$-动机的幂单根的李代数的Tannakian描述。

英文摘要

Let $Ω$ be a lattice in $\mathbb{C}$ with algebraic invariants and complex multiplication, let $\mathcal{E}$ be the elliptic curve associated with $Ω$, and let $\wp$ be the Weierstrass function relative to $Ω$. Set $ k:=\operatorname{End}(\mathcal{E}) \otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}.$ We prove that if $t_1,\dots,t_s$ are $\mathbb{Q}$-linearly independent algebraic numbers and $p_1,\dots,p_n$ are $k$-linearly independent algebraic numbers, then the $s+n$ numbers \[ \mathrm{e}^{t_1},\dots,\mathrm{e}^{t_s}, \wp(p_1),\dots,\wp(p_n) \] are algebraically independent over $\overline{\mathbb{Q}}$. The proof uses the Tannakian description of the Lie algebra of the unipotent radical of the $1$-motive associated with these points.

发表机构

• Università di Padova（帕多瓦大学）

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