Mather 测度与集合的全离散变分逼近
A Fully Discrete Variational Approximation of Mather Measures and Sets
- Dip. di Ingegneria e Geologia, Univ. "G. D’Annunzio" Chieti-Pescara（安农齐奥大学工程与地质系）
- Institut de Mathématique de Bourgogne - UMR 5584 CNRS, Université Bourgogne Europe（勃艮第数学研究所）
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AI总结：
本文提出一种全离散变分逼近方案，用于数值计算平坦环面上 Tonelli 拉格朗日系统的 Mather 测度与集合，通过质量阈值约束优化恢复整个 Mather 集，并给出误差估计与收敛性证明。
AI中文摘要：
我们针对平坦环面上的 Tonelli 拉格朗日系统，引入了一种 Mather 测度与集合的全离散变分逼近方法，并给出了一种用于逼近整个 Mather 集的数值程序。该方案基于带有整数卷绕标签的全离散 Lax-Oleinik 算子。我们证明了临界值的 $O(\ au+h/\ au)$ 误差估计、临界解的收敛性，以及全离散 Mather 测度的有限维刻画。重构的极小化测度的聚点是连续的 Mather 测度，而其支集满足涉及 Mañé 集和 Mather 集的互补的上、下收敛结果。为避免精确离散极小元仅选取部分极小化分量，我们引入了一种基于几乎极小完整测度的质量阈值逼近方法。由此产生了一个有限维约束优化程序，旨在恢复整个 Mather 集。
英文摘要：
We introduce a fully--discrete variational approximation of Mather measures and sets for Tonelli Lagrangians on the flat torus, together with a numerical procedure for approximating the entire Mather set. The scheme is based on a fully--discrete Lax--Oleinik operator with integer winding labels. We prove an $O(τ+h/τ)$ error estimate for the critical value, convergence of critical solutions, and a finite-dimensional characterization of fully--discrete Mather measures. Accumulation points of the reconstructed minimizing measures are continuous Mather measures, while the supports satisfy complementary upper and lower convergence results involving the Mañé and Mather sets. To avoid the selection of only some minimizing components by exact discrete minimizers, we introduce a mass-threshold approximation based on almost-minimizing holonomic measures. This yields a finite-dimensional constrained optimization procedure designed to recover the whole Mather set.
