从均匀随机解中学习 CNF 公式：Valiant 算法的近紧样本复杂度
Learning CNF Formulas from Uniform Random Solutions: Near-Tight Sample Complexity for Valiant's Algorithm
- The University of Hong Kong（香港大学）
- Nanjing University（南京大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
AI总结：
本文重新分析 Valiant 算法在局部引理条件下从均匀随机解学习 CNF 公式的样本复杂度，证明其在 $t>1$ 时达到匹配下界，在 $t=1$ 时对数因子内最优。
AI中文摘要：
我们重新审视 Valiant 算法（Commun. ACM'84），该算法用于在局部引理条件下，从 i.i.d. 均匀随机解中学习具有子句大小 $k$ 和变量度 $d$ 的 $n$ 变量 CNF 公式。对于固定的 $t\geq1$，当 $k\gtrsim(1+1/t)\log d$ 时，Valiant 算法以 $\widetilde{O}(n^{\lceil t \rceil}/\varepsilon)$ 的样本复杂度实现总变差误差 $\varepsilon$。对于 $t>1$，我们证明了 Valiant 算法的匹配下界。在 $t=1$（涵盖 $0<t<1$）时，我们通过信息论下界 $\widetilde\Omega(n/\varepsilon)$ 表明 Valiant 算法的样本复杂度在对数因子内是最优的。
英文摘要：
We revisit Valiant's algorithm (Commun. ACM'84) for learning $n$-variable CNF formulas with clause size $k$ and variable degree $d$ from i.i.d. uniform random solutions in the local lemma regime. For fixed $t\geq1$, under $k\gtrsim(1+1/t)\log d$, Valiant's algorithm achieves total variation error $\varepsilon$ with $\widetilde{O}(n^{\lceil t \rceil}/\varepsilon)$ sample complexity. For $t>1$, we prove a matching lower bound for Valiant's algorithm. At $t=1$ (covering $0<t<1$), we show Valiant's algorithm has optimal sample complexity up to logarithmic factors by an information-theoretic lower bound $\widetildeΩ(n/\varepsilon)$.
