$p$-有理性和单位的$p$-饱和算法
Algorithms for $p$-rationality and for $p$-saturation of units
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中文总结 AI 辅助
本文提出判定数域$p$-有理性的新算法，避免计算类数或完整单位群，并利用$p$-理性解释单位$p$-饱和算法的效率，进而产生更优的无条件单位群验证算法，结合Greenberg工作构造特定Galois表示。
中文摘要 AI 辅助
设$K$为数域。我们给出了判定$K$是否为$p$-有理的新实用算法。对于实分圆域$K=\mathbb{Q}(\zeta_{n})^{+}$，我们的方法避免了计算类数或完整单位群。我们还利用$p$-有理性的概念来解释一个判定单位群$\mathcal{O}_{K}^{\times}$的子群是否为$p$-饱和的算法的实际效率。这进而产生了一种新的算法，用于无条件验证数域的单位群，该算法在实践中显著优于现有的无条件算法。最后，通过将我们判定$p$-有理性的算法与Greenberg的工作相结合，我们构造了某些具有开像及进一步规定性质的Galois表示$\rho: \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \rightarrow \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{Z}_{p})$。
英文摘要
Let $K$ be a number field. We give new practical algorithms that determine whether $K$ is $p$-rational. For real cyclotomic fields $K=\mathbb{Q}(ζ_{n})^{+}$, our method avoids computing either the class number or the full unit group. We also use the notion of $p$-rationality to explain the practical efficiency of an algorithm for determining whether a subgroup of the unit group $\mathcal{O}_{K}^{\times}$ is $p$-saturated. This in turn yields a new algorithm for the unconditional verification of unit groups of number fields that substantially outperforms existing unconditional algorithms in practice. Finally, by combining our algorithms for determining $p$-rationality with work of Greenberg, we construct certain Galois representations $ρ: \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \rightarrow \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{Z}_{p})$ with open image and further prescribed properties.
发表机构
- Universität Siegen（锡根大学）
- University of Exeter（埃克塞特大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。
