AI 中文总结
本文证明了无限词中具有最大回文长度的前缀密度至少为回文前缀密度，系数1最优，通过回文因子链及修剪反射论证实现。
AI 中文摘要
非空有限词 $u$ 的回文长度 $PL(u)$ 是使得这些非空回文的串联等于 $u$ 的最少非空回文个数。对于无限词 $w$，令 $P_w(n)$ 为 $w[1,n]$ 的非空回文前缀的个数，并令 $T_w(n)$ 由那些前缀 $w[1,j]$（$1\leq j\leq n$）组成，这些前缀的回文长度等于在 $w[1,j]$ 的非空前缀中所达到的最大值。我们证明对每个 $n\geq1$ 有有限不等式 $|T_w(n)|\geq P_w(n)$。特别地，如果 $w$ 有无限多个回文前缀，则 \\[ \liminf_{n\to\infty}\frac{|T_w(n)|}{P_w(n)}\geq1. \\] 系数 $1$ 是最优的，即使对于非恒定周期词也是如此。证明使用了由回文因子连接的出现链，以及保持回文长度下界的修剪和反射论证。
英文摘要
The palindromic length $PL(u)$ of a nonempty finite word $u$ is the least number of nonempty palindromes whose concatenation is $u$. For an infinite word $w$, let $P_w(n)$ be the number of nonempty palindromic prefixes of $w[1,n]$, and let $T_w(n)$ consist of those prefixes $w[1,j]$, $1\leq j\leq n$, whose palindromic length equals the maximum attained among the nonempty prefixes of $w[1,j]$. We prove the finite inequality $|T_w(n)|\geq P_w(n)$ for every $n\geq1$. In particular, if $w$ has infinitely many palindromic prefixes, then \[ \liminf_{n\to\infty}\frac{|T_w(n)|}{P_w(n)}\geq1. \] The coefficient $1$ is optimal, already for a nonconstant periodic word. The proof uses chains of occurrences connected by palindromic factors, together with trimming and reflection arguments that preserve lower bounds on palindromic length.
