发表机构
National University of Singapore（新加坡国立大学）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文研究弱相互作用 Ising 星的 Metropolis 动力学，证明群平均可将混合时间从指数级降至多项式级，提供群平均加速马尔可夫链的显式示例。
AI 中文摘要
我们研究了在逆温度 $\beta \geq 0$ 下，对于具有叶子间附加符号相互作用的 Ising 星，在 $\{-1,+1\}^d$ 上的惰性单点 Metropolis 动力学 $P_{\beta}$。如果叶子相互作用矩阵的绝对行和至多为 $\kappa\le1/2$，则对于 $\beta\ge1$，$P_{\beta}$ 的最坏情况全变差混合时间至少为 $d\exp\{c\beta(d-1)\}$ 量级，其中 $c>0$ 为普适常数。对全局自旋反转进行平均后，对于 $GP_\beta G$ 和 $(P_\beta+G)/2$，混合时间均降至 $\mathcal O(d^2(1+\beta))$，其中 $G$ 是由状态空间按自旋反转轨道 $\{-x,x\}$ 划分所诱导的 Gibbs 核。配分函数插值给出了 $P_{\beta}$ 的下界。上界则来自 Wu 的 Dobrushin 不等式以及投影链和限制链的分解。这给出了一个明确的例子，说明群平均可以将指数慢的链转变为多项式快的链。
英文摘要
We study lazy single-site Metropolis dynamics $P_β$ at inverse temperature $β\geq 0$ on $\{-1,+1\}^d$ for an Ising star with additional signed interactions among the leaves. If the absolute row sums of the leaf-interaction matrix are at most $κ\le1/2$, the worst-case total-variation mixing time of $P_β$ is at least of order $d\exp\{cβ(d-1)\}$ for $β\ge1$, with universal $c>0$. Averaging over global spin reversal reduces the mixing time to $\mathcal O(d^2(1+β))$ for both $GP_βG$ and $(P_β+G)/2$, where $G$ is the Gibbs kernel induced by the partition of the state space into spin-reversal orbits $\{-x,x\}$. Partition-function interpolation gives the lower bound for $P_β$. The upper bounds follow from Wu's Dobrushin inequality and a decomposition into projection and restriction chains. This gives an explicit example in which group averaging turns an exponentially slow chain into a polynomially fast one.
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